Программы вступительного экзамена в аспирантуру (отделение механики)

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ вступительного экзамена в аспирантуру
по специальности «Механика деформируемого твердого тела»
(помимо имеющихся в программе государственного экзамена по специальности «Механика»)

Объединенный список вопросов, предложенных кафедрами теории упругости, теории пластичности, механики композитов и волновой и газовой динамики

1. Обобщенный закон Гука. Закон Гука для изотропного упругого тела. Модуль Юнга, модуль сдвига, модуль объемного сжатия и коэффициент Пуассона, их механический смысл и способы экспериментального определения, связь с коэффициентами Ламе. Простейшие задачи для упругих изотропных тел: всестороннее сжатие, простой сдвиг упругого слоя, одноосное растяжение (сжатие).

2. Кручение призматического упругого бруса. Крутка, депланация. Связь крутки и крутящего момента. Точное решение для круглого стержня. Использование в задаче о кручении функции напряжения. Аналогия с течением Пуазейля.

3. Чистый изгиб бруса. Основные гипотезы. Связь продольного напряжения и изгибающего момента. Принцип Сен-Венана.

4. Диаграмма растяжения-сжатия образца. Пластические деформации. Предел текучести, площадка текучести, упрочнение, эффект Баушингера, петля гистерезиса. Простейшие одномерные модели пластичности: жестко идеально-пластический материал, упруго идеально-пластический материал, упругопластический материал с линейным упрочнением.

5. Понятие о поверхности нагружения. Запись уравнения поверхности текучести для случаев идеальной пластичности, пластичности с изотропным, кинематическим и изотропно-кинематическим упрочнением. Принцип градиентальности приращения пластической деформации. Теория Прандтля-Рейсса.

6. Простое нагружение. Теория малых упругопластических деформаций: основные соотношения и постановка задачи. Метод упругих решений.

7. Однородные и неоднородные среды, изотропные и анизотропные материалы. Изотропные и анизотропные тензорные функции и операторы (линейные, нелинейные, квазилинейные). Описание с их помощью определяющих соотношений МДТТ. Материальные функции.

8. Постановки краевых задач МДТТ в перемещениях и напряжениях. "Новая" постановка в напряжениях. Обобщенные решения в МДТТ. Вариационные постановки задач МДТТ. Методы Ритца и Бубнова-Галеркина. Вариационно-сеточные методы.

9. Необратимые среды. Функция рассеивания, Вязкоупругая среда. Методы аппроксимаций. Метод численной реализации упругого решения. Деформационная теория пластичности. Теория пластического течения.

10. Композиционные материалы. Линейные эффективные определяющие соотношения. Методы нахождения эффективных модулей. Метод осреднения в механике композитов.

11. Итерационные методы решения нелинейных задач МДТТ. Свойства касательных модулей и податливостей, обеспечивающие их сходимость.

12. Идеальная пластичность. Жесткопластическая модель. Понятие о предельном состоянии. Верхняя и нижняя оценки предельной нагрузки. Метод характеристик. Теорема Генки. Задача о внедрении штампа в полуплоскость и изгибе балки с надрезами. Разрывные решения и условия на разрывах. Пример: смятие угла.

13. Сингулярная пластичность. Теория скольжения и ее феноменологический аналог. Полное и неполное нагружение. Теория Сандерса. Сингулярная пластичность и деформационная теория.

14. Основные положения теории ползучести. Описание одномерной ползучести и релаксации. Установившаяся ползучесть при сложном напряженном состоянии. Труба под действием внутреннего давления. Ползучесть с изотропным упрочнением.

15. Основные положения наследственной упругости. Линейная теория (линейная вязкоупругость). Реологические модели. Принцип Вольтера

16. Основные положения линейной механики разрушения. Асимптотика напряжений и перемещений в вершине трещины. Типы трещин. Постановка задачи. Коэффициент интенсивности и сила сопротивления раскрытию трещины. Сопоставление силового и энергетического подходов.

17. Контактная задача для упругой полуплоскости. Осесимметричная контактная задача для упругого полупространства. Постановка контактной задачи Герца.

ЛИТЕРАТУРА (дополнение к основному списку госэкзамена)

1 .Тимошенко СП., Гудьер Дж. Теория упругости.М.:Наука, 1975.

2. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.:Логос, 2004.

3. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. ГИФМЛ. М.:1959.

4. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.:Наука, 1969.

4. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.:Наука, 1979.

5. Меяз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. Изд. 2-е. Изд-во ЛКИ, 2007.

6. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М., Наука, 1970.

7. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М, Изд-во МГУ, 1986.

8. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М., Изд-во МГУ, 1984.

9. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М., Изд-во МГУ, 1995.

10. Победря Б.Е., Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент, Изд-во ФАН, 1988.

11. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. М., Эдиториал УРСС, 1999.

12. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. 1980. М.: Изд. МГУ.

Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности
«Механика жидкости, газа и плазмы»

Часть 1.

Сведения из математики

1. Теория систем линейных алгебраических уравнений. Линейные операторы в n-мерном пространстве, собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

2. Дифференциальные операторы: градиент, дивергенция, ротор, оператор Лапласа.

3. Ряд Тейлора для функции одной и нескольких переменных. Ряды Фурье, интегралы Фурье.

4. Объемные, поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса преобразования интегралов.

5. Задача Когда для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Существование и единственность решения.

6. Линейное дифференциальное уравнение п-го порядка. Линейное однородное уравнение. Линейная независимость и фундаментальная система решений. Детерминант Вронского. Линейное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение. Фазовое пространство. Интегральные кривые. Особые точки системы линейных уравнений. Типы особых точек на плоскости.

7. Функции комплексного переменного. Производная и дифференциал функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Простейшие конформные отображения.

8. Ряды Тейлора и Лорана. Особые точки однозначных аналитических функций.

9. Классификация линейных уравнений с частными производными 2-го порядка. Характеристики линейных уравнений с двумя независимыми переменными. Примеры разных типов уравнений из механики сплошной среды и физики.

10. Численные методы в задачах механики жидкости и газа.

Основные сведения из теоретической механики

11. Уравнения движения системы материальных точек. Внутренние и внешние силы. Теоремы об изменении импульса, момента количества движения, кинетической энергии. Работа внешних и внутренних сил.

12. Относительное движение, формулы сложения скоростей и ускорений. Ускорение Кориолиса.

13. Вращение твердого тела около неподвижной оси. Распределение скоростей и ускорений при произвольном движении абсолютно твердого тела.

14. Принцип Д'Аламбера-Лагранжа. Уравнения Лагранжа для голономных систем с потенциальными силами. Вариационный принцип Гамильтона.

15. Определение устойчивости движения по Ляпунову Устойчивость положений равновесия голономных консервативных систем. Теорема Лежен-Дирихле.

Общие понятия и законы механики сплошной среды

16. Понятие сплошной среды. Пространственные и материальные координаты, эйлерово и лагранжево описание движения сплошной среды. Поля перемещений, Оскоростей, ускорений, соотношения между ними при латранжевом и эйлеровом описании. Траектории и линии тока.

17. Тензоры конечных и малых деформаций, их скалярные инварианты связь с вектором перемещения, уравнения совместности.

18. Тензор скоростей деформаций. Кинематический смысл его компонент.

19. Дивергенция скорости и вектор вихря скорости, их механический смысл. Циркуляция вектора скорости. Потенциальное движение.

20. Закон сохранения массы для конечного объема сплошной среды. Уравнение неразрывности для сжимаемой и несжимаемой среды в переменных Эйлера и Лагранжа.

21. Закон сохранения количества движения для конечного объема сплошной среды. Тензор напряжений. Дифференциальное уравнение движения для произвольной сплошной среды.

22. Закон сохранения момента количества движения для конечного объема сплошной среды и в дифференциальной форме. Симметрия тензора напряжений.

23. Закон сохранения энергии для конечного объема сплошной среды. Вектор потока тепла. Дифференциальное уравнение энергии. Теорема о кинетической энергии. Работа внутренних сил. Уравнение притока тепла. Адиабатические и изотермические процессы, приток тепла за счет теплопроводности. Закон теплопроводности Фурье.

24. Обратимые и необратимые процессы. Второй закон термодинамики. Тождество Гиббса. Приток энтропии извне. Производство энтропии в необратимых процессах.

25. Условия на поверхностях сильного разрыва в сплошных средах. Тангенциальные разрывы и ударные волны.

Классические модели сплошных сред

26. Модель идеальной жидкости. Уравнения движения Эйлера. Понятие баротропии. Замкнутые системы уравнений для идеальной несжимаемой жидкости и идеального баротропного газа. Начальные и граничные условия.

27. Уравнения состояния для сжимаемых жидкостей и газов. Модель совершенного газа. Адиабата Пуассона. Полная система уравнений для идеального совершенного теплопроводного газа. Понятие о термодинамических потенциалах двухпараметрических газов.

28. Модель линейно-вязкой жидкости. Уравнения движения Навье-Стокса, Уравнение об изменении кинетической энергии, диссипация механической энергии в вязкой жидкости. Уравнение притока тепла. Замкнутые системы уравнений для вязкой теплопроводной несжимаемой и сжимаемой жидкости. Граничные условия.

29. Модель линейного термоупругого тела с малыми деформациями. Изотропное упругое тело. Закон Гука. Постановка задач в перемещениях, уравнение Ламе. Постановка задач в напряжениях.

Движение идеальной жидкости

30. Интегралы Бернулли и Коши-Лагранжа.

31. Кинематические и динамические теоремы о вихрях: теоремы Томсона, Лагранжа, Гельмгольца.

32. Потенциальные движения несжимаемой жидкости Уравнение Лапласа. Примеры потенциальных течений: поступательный поток, источник, диполь, точечный вихрь. Метод наложения потоков.

33. Потенциальные движения баротропного сжимаемого газа с малыми возмущениями. Волновое уравнение, его общее решение для одномерных движений с плоской и сферической симметрией. Скорость звука.

34. Определение поля скоростей несжимаемой жидкости по заданным источникам и вихрям. Формула Био-Савара. Прямолинейная вихревая нить.

35. Движение сферы в несжимаемой жидкости с постоянной и переменной скоростью. Присоединенная масса сферы.

36. Плоские потенциальные течения идеальной несжимаемой жидкости. Комплексный потенциал, комплексная скорость, метод комфорных отображений. Стационарное обтекание кругового цилиндра с циркуляцией и без циркуляции.

37. Силы, действующие на тело, движущееся в идеальной жидкости: сила сопротивления, подъемная сила. Стационарное обтекание крылового профиля. Парадокс Даламбера-Эйлера. Теорема Жуковского о подъемной силе. Постулат Жуковского-Чаплыгина для определения циркуляции вокруг крылового профиля с острой задней кромкой.

38. Обтекание тел со срывом струй. Схема Кирхгоффа для обтекания пластины. Понятие о кавитации.

39. Постановка задачи Коши-Пуассона о волнах на поверхности тяжелой несжимаемой жидкости. Линеаризованная постановка. Гармонические волны. Амплитуда, период и длина волны, фазовая и групповая скорости. Явление дисперсии. Уравнения мелкой воды. Линейные длинные волны, волновое уравнение. Решение Даламбера задачи Коши-Пуассона для одномерных плоских волн.

Движение вязкой жидкости

40. Течение Куэтта. Течение Пуазейля в круглой трубе.

41. Движение вязкой жидкости с малыми и большими числами Рейнольдса. Приближение Стокса. Пограничный слой. Уравнения Прандтля для пограничного слоя. Граничные условия. Понятие об отрыве пограничного слоя.

42. Турбулентные движения. Уравнения Рейнольдса для осредненных параметров движения однородной несжимаемой жидкости. Турбулентные напряжения. Полуэмпирическая теория турбулентности Прандтля.

Газовая динамика

43. Система уравнений газовой динамики для адиабатических движений совершенного газа. Скорость звука. Число Маха. Распространение возмущений в дозвуковых и сверхзвуковых потоках. Конус Маха. Эффект Допплера.

44. Одномерные нестационарные движения. Характеристическая форма уравнений газовой динамики. Характеристики. Инварианты Римана. Волны Римана. Опрокидывание волны Римана. Центрированная волна Римана, автомодельное решение.

45. Плоские стационарные сверхзвуковые течения. Течение Прандтля-Майера. Линеаризованная задача об обтекании тонкого крыла.

46. Поверхности разрыва в идеальном газе. Условия на ударных волнах. Адиабата Гюгонио. Теорема Цемплена. Эволюционные и неэволюционные разрывы.

47. Влияние сжимаемости на форму трубок тока. Элементарная теория сопла Лаваля.

48. Условия на косом скачке. Обтекание клина сверхзвуковым потоком. Обтекание с отошедшей ударной волной. 

Механическое подобие и моделирование

49. Размерные и безразмерные величины. Формула размерности. 7Е-теорема. Физическое подобие явлений. Критерии подобия. Моделирование механических явлений. Числа Рейнольдса, Маха. Фруда, Струхаля, Эйлера Прандтля.

Электродинамика сплошных сред

50. Взаимодействие сплошных сред с электромагнитным полем. Плотность заряда и плотность тока. Сила Лоренца. Джоулево тепло. Закон Ома. Уравнения электродинамики и механики сплошных сред с учетом зарядов и токов.

Литература

1. Ильин.В.А., Садовничий В .А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Изд-во МГУ. 1985.

2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1974.

3. Тихонов А.Н.. Самарский В. А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977.

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз. 1959.

5. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука. 1985.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука. 2000.

7. Маркеев А.П.. Теоретическая механика. М.: Наука. 1990.

8. Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, т. 1,2. М.: Физматгиз. 1963.

9. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1,2. М.: Наука. 1984.

10. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1987.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1986.

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1978.

13. Слезкин НА. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат. 1955.

14 Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука. 1988.

10. Галин Г.Я., Голубятников А.Н., Каменярж Я.А. и др. Механика сплошных сред в задачах / Под редакцией М.Э.Эглит, т.1,2. М.: Московский Лицей. 1996.

Программа вступительного экзамена в аспирантуру  по специальности 05.13.18

Общая часть (кафедра вычислительной механики)

1. Линейные отображения, операции с матрицами, решение систем линейных алгебраических уравнений. Теорема о неявной функции.

2. Ряды и последовательности функций. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность, почленное интегрирование и дифференцирование).

3. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональной системе функций, неравенство Бесселя, сходимость ряда Фурье. Поточечная сходимость; достаточные условия равномерной сходимости рядов Фурье по тригонометрической системе функций. Полнота системы тригонометрических функций.

4. Принцип сжатых отображений в полных метрических пространствах и его применения. Итерационные методы решения уравнений f(х) = 0 (хорд, Ньютона).

5. Задача Копта для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Фундаментальная система решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных. Классификация Пуанкаре особых точек на плоскости. Решение линейного уравнение п-го порядка, квазимногочлены.

6. Формулы Гаусса-Остроградского и Стокса.

7. Свойства производной аналитической функции и интеграл Коши. Простейшие конформные отображения. Ряды Тейлора и Лорана.

8. Классификация и примеры линейных уравнений с частными производными 2-го порядка. Основные виды начальных и краевых условий. Характеристики линейных уравнений с двумя независимыми переменными.

9. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера.

10. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности. Метод разделения переменных для решения первой краевой задачи.

11. Гармонические функции и принцип максимума. Краевые задачи для уравнения Пуассона и основные методы их решения.

12. Формула Эйлера для поля скоростей в твердом теле; теоремы сложения скоростей и ускорений для точки; ускорение Кориолиса.

13. Свободные и вынужденные колебания линейного осциллятора с трением. Математический маятник и его фазовый портрет.

14. Внутренние и внешние силы для системы материальных точек. Заданные силы и реакции связей. Теоремы об изменении и законы сохранения импульса, кинетического момента и кинетической энергии системы. Модели сил трения.

15. Уравнения движения твердого тела с применением главных осей инерции. Вращение твердого тела по инерции. Осесимметричный волчок, гироскопический эффект.

16. Модель идеальных связей. Уравнения Лагранжа и Гамильтона для голономных систем с потенциальными силами. Интеграл энергии, циклический интеграл. Вариационный принцип Гамильтона.

17. Свойства тензоров конечных и малых деформаций. Кинематический смысл компонент тензора скоростей деформации. Кинематические свойства вихрей. Сохранение массы и уравнение неразрывности в переменных Эйлера и Лагранжа.

18. Массовые и поверхностные силы. Законы изменения импульса и кинетического момента. Симметричность тензора напряжений. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды. Связь между напряженным состоянием и деформацией. Определяющие соотношения. Замкнутые системы уравнений.

19. Теорема об изменении кинетической энергии, работа внутренних и поверхностных сил. Первый закон термодинамики. Уравнение притока тепла. Вектор потока тепла, закон теплопроводности Фурье. Второй закон термодинамики. Энтропия.

20. Модели идеальных жидкостей. Постановки задач. Установившиеся течения, интеграл Бернулли. Парадокс Даламбера. Потенциальные течения, интеграл Коши-Лагранжа. Вихревые течения, теоремы Томсона и Лагранжа.

21. Модель вязкой ньютоновской жидкости, постановка задач, граничные условия Ламинарные и турбулентные течения. Число Рейнольдса. Течение Пуаэейля. Уравнения Рейнольдса. Понятие о пограничном слое.

22. Модель линейного упругого тел, закон Гука, постановки задач теории упругости в перемещениях и напряжениях. Продольные и поперечные волны в изотропной упругой среде. Функция напряжений плоского напряженного состояния. Задача Ламе о толстостенной трубе.

23. Слабые и сильные разрывы. Условия на поверхности разрыва. Ударные волны. Число Маха.

24. Моделирование физических процессов, П-теорема. Критерии подобия.

Дополнительные вопросы вступительного экзамена в аспирантуру
по специальности 05.13.18. (кафедра вычислительной механики).

1. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Погрешность приближения функции ее интерполяционным многочленом.

2. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Их точность.

3. Прямые метода решения СЛАУ. Метод Гаусса.

4. Одношаговые итерационные методы решения СЛАУ. Методы Якоби и Зейделя.

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса.

6. Основные понятия теории разностных схем для линейных уравнений в частных производных: аппроксимация, устойчивость, сходимость.

7. Разностная схема решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Исследование аппроксимации и устойчивости.

8. Разностные схемы (явная и неявная) для 1d линейного уравнения теплопроводности. Исследование аппроксимации и устойчивости.

9. Разностные схемы (явные и неявные) для 1d линейного уравнения переноса. Исследование аппроксимации и устойчивости.

10. Основы метода конечных элементов (МКЭ): вариационная постановка задачи и метод Ритца.

11. Проекционная теорема в методе конечных элементов (МКЭ).

12. Оценка точности аппроксимации Ритца для кусочно линейного базиса.

13. Матрицы жесткости и масс в МКЭ для кусочно-линейного базиса

Основная литература - по списку для вопросов государственного экзамена.

Дополнительная литература.

1. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы.- М. Наука, 1977.

2. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику.- 3 изд. - М. Физматлит, 2008.

3. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. - 3-е изд., доп. и перераб. - М. БИНОМ. Лаборатория знаний.. 2004. -636 с

4. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М. Наука, 1982.

5. С.К.Годунов, А.В.Забродин, М.Я.Иванов, А.Н.Крайко, ГЛ.Прокопов. Численное решение многомерных задач газов( динамики. - М. Наука, 1976.

6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, Физматлит, 1989. -416 с.

7. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. - М. Мир, 1977.

8. Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике. М: Мир, 1975.

Дополнительные экзаменационные вопросы для поступающих в аспирантуру по специальности 01.02.01.
кафедры : теоретическая механика и мехатроника, прикладная механика и управления

1. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби. Переменные действие-угол.

2. Неголономные системы. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями. Уравнения Чаплыгина. Принцип Гаусса. Уравнения Аппеля.

3. Декомпозиция линейных стационарных систем с точки зрения управляемости и наблюдаемости. Стабилизация линейных стационарных систем.

4. Стабилизация линейной стохастической стационарной системы с квадратичным критерием качества. Теорема разделения