22.04.2012

Заседание ММО

24 апреля 2012 г.
Заседание Московского Математического Общества  
(18 час. 30 мин., ауд. 16-10 Главного здания МГУ).

А.И.Эстеров

Дискриминант системы уравнений

Многие геометрические объекты можно рассматривать как обобщения дискриминанта и результанта многочлена одной переменной: дискриминант Гельфанда-Капранова-Зелевинского для многочлена многих переменных, дискриминант деформации изолированной особенности, sparse результант в символьной алгебре и т.д. После краткого обзора их определений, свойств и мотивировок будет предложено еще одно обобщение - дискриминант системы уравнений, "интерполирующий" вышеперечисленные понятия, наследующий многие их интересные свойства и не наследующий трудности.

Назовем систему алгебраических уравнений типичной, если топологический тип множества ее решений не меняется при шевелении ее ненулевых коэффициентов. Тогда (за исключением очевидных бессодержательных случаев) множество всех нетипичных систем является гиперповерхностью, уравнение которой и предлагается называть дискриминантом исходной системы.

Тот факт, что нетипичные уравнения образуют гиперповерхность, был замечен Гельфандом, Капрановым и Зелевинским, но для систем доказательство наталкивается на неожиданные сложности комбинаторики многогранников и сводится к другому факту о чистоте размерности, но уже для тропических многообразий. Это новый пример загадочного сходства между классической алгебраической геометрией и тропической (над R с операциями + и min), которое уже научились использовать для угадывания и красивой формулировки ответов, но еще так и не научились удовлетворительно объяснять.

Доклад не требует специальных знаний и, по модулю отдельных замечаний, будет доступен студентам.