4 декабря 2012 г. Заседание Московского математического общества (18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
А. П. Шашкин Функциональные предельные теоремы для мер множеств уровня гауссовского случайного поля
Аннотация. Доклад посвящен установлению новых асимптотических свойств случайных систем, возникающих на стыке теории случайных полей и стохастической геометрии. Так, важные задачи томографии и астрофизики приводят к изучению экскурсионных множеств и множеств уровня, порожденных случайными процессами и полями. Математическая теория этих случайных множеств началась с классических работ С. Райса и М. Каца, давших явные выражения для математического ожидания числа нулей гладкой случайной функции на отрезке. Эти результаты получили дальнейшее развитие в иследованиях Г. Крамера, М. Лидбеттера, Ю. К. Беляева, Д. Гемана, Р. Адлера, Дж. Тейлора, И. А. Ибрагимова, Д. Н. Запорожца. При этом для случайных полей основное внимание уделялось функционалам Минковского от экскурсионных множеств, в первую очередь эйлеровой характеристике и хаусдорфовой мере границы (т.е. мере множества уровня). Среди множества результатов в этой области важное место занимают различные формы центральной предельной теоремы для числа нулей гауссовских процессов (а для случайных полей — для хаусдорфовых мер множеств уровня). Здесь существенную роль играют современные методы, основанные на формулах коплощади и технике разложений Винера-Ито. Отметим вклад, который внесли Т. Малевич, Дж. Кузик, В. И. Питербарг, М. Кратц, Х. Леон и другие ученые. Если взять фиксированную область наблюдения и для каждого вещественного числа рассмотреть соответствующее множество уровня, то возникает случайный процесс на числовой оси, образованный мерами этих множеств. Интересный и нетривиальный вопрос состоит в том, можно ли для таких процессов получить функциональные предельные теоремы. Ранее С. Берман и А. И. Елизаров изучали лишь свойства сходного случайного процесса, который получается, если вместо мер множества уровня брать локальные времена. В докладе будет рассказано о недавних продвижениях автора в данном направлении. А именно, удалось установить асимптотическую гауссовость распределений должным образом нормированных случайных процессов, введенных выше, соответственно в гильбертовом пространстве функций на числовой прямой и в пространстве непрерывных функций. Для понимания доклада достаточно общих сведений, содержащихся в стандартных курсах теории вероятностей и случайных процессов.
