23.03.2014

Заседание ММО

 25 марта 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. М. Вершик
Границы, инвариантные меры, характеры и внутренние метрики

Аннотация. Широкий класс задач анализа, теории случайных процессов, теории представлений и асимптотической комбинаторики сводится к отысканию множества инвариантных мер относительно действия той или иной группы, или того или иного отношения эквивалентности. Таковы задачи о границе-выход (вход) случайного процесса, о границе Пуассона–Фюрстенберга случайного блуждания, о списке гармонических функций, о фазовых переходах, о характерах групп и следах алгебр, и, собственно, об инвариантных мерах динамической системы. В последнем случае хорошо известно, что задача описания инвариантных мер может быть «гладкой», — множество неразложимых инвариантных мер компактно в некоторой топологии, и «негладкой», когда компактной параметризации ответа не существует. Обе возможности реализуются и в других упомянытых задачах (например в задаче о следах), что менее известно. Как различить эти два случая? Как найти эту «некоторую» топологию?
   Наиболее интересный случай: меры, инваринатные относительно хвостового отношения эквивалентности в пространстве путей градуированного графа (диаграммы Браттели) или границы-выход марковской нестационарнои цепи. К нему сводятся все гиперконечные (аменабельные) примеры. Используя общее понятие стандарнтости из теории фильтраций (теории убывающих последовательностей сигма-алгебр) можно определить так называемую внутреннюю топологию на пространстве путей графа, которая дает метод описания инвариантных мер в гладком (компактном) случае.
   В докладе будут определены все необходимые понятия и рассмотрены примеры.

 24 марта 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

С. К. Годунов
Корректность дифференциальных уравнений, пластические деформации и волнообразование при сварке взрывом

Аннотация. Доклад начнется с краткого изложения основных принципов, которые, как впоследствии оказалось, были заложены в 1953–54 годах при проектировании расчетной схемы для разрывных решений уравнений газовой динамики. Современное развитие таких схем успешно используется вплоть до настоящего времени. Их изобретение проводилось под руководством М. В. Келдыша и И. М. Гельфанда.
   В течение следующего десятилетия во время оживленных дискуссий, в которых активное участие принимали также физики Я. Б. Зельдович, Д. А. Франк-Каменецкий и группа экспериментаторов, руководимая Л. В. Альтшулером, возникла формулировка класса уравнений, для которых применима предложенная методика. Оказалось, что это — термодинамически согласованные законы сохранения, записанные с помощью термодинамических потенциалов. Они приводят к симметрическим гиперболическим по Фридрихсу уравнениям. Эта гиперболичность обеспечивает корректность. Допустимые разрывные решения выделяются требованием возрастания энтропии.
   В последние годы, начиная с 1963 г., делались попытки применить основанную на тех же принципах методику при моделировании процесса сварки металлических пластин с помощью взрыва и выявить причину волнообразования на сварном шве (задача была поставлена М. А. Лаврентьевым). Для этого пришлось вместо уравнений газовой динамики использовать уравнения нелинейной теории упругости, внеся в них корректировку для моделирования пластических деформаций, позволившую рассчитать .затопленную струю., примыкающую к зоне сварки (ее наличие было обнаружено еще в начале 70-х годов при сравнении первых, еще чисто гидродинамических, расчетов с экспериментом).
   Будут продемонстрированы результаты реализованных упруго-пластических расчетов, которые заканчиваются аварийным остановом, свидетельствующим о том, что процесс выходит из зоны корректности применяемых уравнений. Объяснение этого эффекта вытекает из результатов моделирования того же процесса при помощи молекулярной динамики, выполненного С. П. Киселевым в ИТПМ им. Христиановича СО РАН. Будут приведены картинки с результатами этих расчетов, также как и некоторые изображения натурных экспериментов выполненных в Институте гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН В. И. Мали.