Геометрические прогрессии
Геометрической прогрессией
называется такая последовательность чисел ,
что каждый следующий ее элемент получается из предыдущего умножением на некоторое
фиксированное число , называемое знаменателем
прогрессии.
Приведем еще три важные формулы, касающиеся геометрической
прогрессии, которые необходимо знать наизусть:
1. Формула -го члена (общего
члена прогрессии) .
2. Формула суммы первых членов
прогрессии: . При
принято говорить о сходящейся геометрической прогрессии; в этом случае
можно вычислить сумму всей прогрессии по формуле .
3. Формула "среднего геометрического": если ,
, - три последовательных
члена геометрической прогрессии, то в силу определения имеем соотношения:
или или .
Пример 1.
Найти 4 числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой сумму крайних
членов равна 27, а произведение средних равно 72.
Решение. Запишем условие задачи. Имеются
четыре числа: , ,
, . Известно,
что и . Воспользовавшись
формулой общего члена геометрической прогрессии, получим, что
и . Из второго уравнения ,
что можно подставить в первое уравнение и получить: ,
откуда следует квадратное уравнение , корнями
которого являются числа 24 и 3. Находя (что
очевидно), мы получим два набора чисел - первый начинается с 24:
и соответствует , ,
второй - (,
).
(То, что один набор числе образует две прогрессии - со знаменателями
и - обычная
в подобных задачах ситуация).
Пример 2.
Имеется шесть последовательных членов геометрической прогрессии. Сумма первых
трех в восемь раз меньше суммы последних трех. Найти знаменатель геометрической
прогрессии.
Комментарий. Поскольку прогрессия определяется двумя параметрами,
а в задаче только одно условие, мы сможем найти только знаменатель.
Решение. Запишем условие задачи: ,
выразим все числа с помощью формулы общего члена прогрессии:
откуда после сокращения и .
Ответ: .
Пример 3.
В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а сумма первых
шести членов равна -63. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.
Комментарий. На самом деле мы сделаем больше - мы просто
найдем и первый член - и знаменатель -
этой прогрессии. Тем самым мы, как принято говорить, "зададим" или
"построим" ее. Как результат - мы сможем найти все, что только нас
спросят про эту прогрессию, в том числе и сумму первых десяти ее членов. Заметим,
что два условия позволяют определить два параметра. Задача предлагалась абитуриентам
Воронежского Государственного Университета.
Решение. Нам пригодится то, что было проделано
в предыдущем примере. ; ,
откуда и в качестве следствия из предыдущего
примера получим . Найдем теперь :
и откуда окончательно:
.
Пример 4.
Найти трехзначное число, если известно, что его цифры составляют геометрическую
прогрессию. Кроме того, если из заданного числа вычесть 297, то получится число,
записанное теми же цифрами в обратном порядке. Если к цифрам указанного числа
прибавить 8, 5 и 1, то полученные числа составят арифметическую прогрессию.
Комментарий. Задачи на числа можно зачастую решить простым
перебором. Кроме того, данный пример приводит к следующей задаче: Указать
все трехзначные числа, цифры которых образуют геометрическую прогрессию.
Замечание. Можно проверить, что последнее условие - лишнее.
Задача вполне решается и без него.
Решение. Решение перебором.
Пусть число имеет вид ,
где - сотни,
- десятки и - единицы.
Для начала будем считать, что
(просто потому, что числа с условием
получаются автоматически "переворачиванием" тех, что мы найдем сначала).
Возможны следующие случаи - ,
тогда или .
(поскольку и
должны быть натуральными числами) Это дает нам числа 124 и 139. Кроме того,
можно заметить (подобное замечание было уже однажды сделано выше по тексты),
что числа 421 и 931 тоже подходят. Более того, число 421 удовлетворяет и второму
условию задачи, и третьему. Если к цифрам 4, 2, 1 прибавить 8, 5, 1, то получим
числа 12, 7, 2. Эти последние действительно образуют арифметическую прогрессию
с разностью .
Второй возможный случай .
Тогда и других возможностей
нет. В этом случае и
, что дает нам числа 248
и 842. Оба эти числа не подходят под условия задачи.