Геометрические прогрессии

    Геометрической прогрессией называется такая последовательность чисел , что каждый следующий ее элемент получается из предыдущего умножением на некоторое фиксированное число , называемое знаменателем прогрессии.
    Приведем еще три важные формулы, касающиеся геометрической прогрессии, которые необходимо знать наизусть:
    1. Формула -го члена (общего члена прогрессии) .
    2. Формула суммы первых членов прогрессии: . При принято говорить о сходящейся геометрической прогрессии; в этом случае можно вычислить сумму всей прогрессии по формуле .
    3. Формула "среднего геометрического": если , , - три последовательных члена геометрической прогрессии, то в силу определения имеем соотношения: или или .

    Пример 1. Найти 4 числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой сумму крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72.
    Решение. Запишем условие задачи. Имеются четыре числа: , , , . Известно, что и . Воспользовавшись формулой общего члена геометрической прогрессии, получим, что и . Из второго уравнения , что можно подставить в первое уравнение и получить: , откуда следует квадратное уравнение , корнями которого являются числа 24 и 3. Находя (что очевидно), мы получим два набора чисел - первый начинается с 24: и соответствует , , второй - (, ).
    (То, что один набор числе образует две прогрессии - со знаменателями и - обычная в подобных задачах ситуация).

    Пример 2. Имеется шесть последовательных членов геометрической прогрессии. Сумма первых трех в восемь раз меньше суммы последних трех. Найти знаменатель геометрической прогрессии.
    Комментарий. Поскольку прогрессия определяется двумя параметрами, а в задаче только одно условие, мы сможем найти только знаменатель.
    Решение. Запишем условие задачи: , выразим все числа с помощью формулы общего члена прогрессии: откуда после сокращения и .
    Ответ: .

    Пример 3. В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а сумма первых шести членов равна -63. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.
    Комментарий. На самом деле мы сделаем больше - мы просто найдем и первый член - и знаменатель - этой прогрессии. Тем самым мы, как принято говорить, "зададим" или "построим" ее. Как результат - мы сможем найти все, что только нас спросят про эту прогрессию, в том числе и сумму первых десяти ее членов. Заметим, что два условия позволяют определить два параметра. Задача предлагалась абитуриентам Воронежского Государственного Университета.
    Решение. Нам пригодится то, что было проделано в предыдущем примере. ; , откуда и в качестве следствия из предыдущего примера получим . Найдем теперь : и откуда окончательно: .

    Пример 4. Найти трехзначное число, если известно, что его цифры составляют геометрическую прогрессию. Кроме того, если из заданного числа вычесть 297, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Если к цифрам указанного числа прибавить 8, 5 и 1, то полученные числа составят арифметическую прогрессию.
    Комментарий. Задачи на числа можно зачастую решить простым перебором. Кроме того, данный пример приводит к следующей задаче: Указать все трехзначные числа, цифры которых образуют геометрическую прогрессию.
    Замечание. Можно проверить, что последнее условие - лишнее. Задача вполне решается и без него.
    Решение. Решение перебором.
    Пусть число имеет вид , где - сотни, - десятки и - единицы. Для начала будем считать, что (просто потому, что числа с условием получаются автоматически "переворачиванием" тех, что мы найдем сначала). Возможны следующие случаи - , тогда или . (поскольку и должны быть натуральными числами) Это дает нам числа 124 и 139. Кроме того, можно заметить (подобное замечание было уже однажды сделано выше по тексты), что числа 421 и 931 тоже подходят. Более того, число 421 удовлетворяет и второму условию задачи, и третьему. Если к цифрам 4, 2, 1 прибавить 8, 5, 1, то получим числа 12, 7, 2. Эти последние действительно образуют арифметическую прогрессию с разностью .
    Второй возможный случай . Тогда и других возможностей нет. В этом случае и , что дает нам числа 248 и 842. Оба эти числа не подходят под условия задачи.