Задача 1. Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, если разность между седьмым и третьим членами равна 8, произведение второго и седьмого члена равно 75, причем известно, что все члены прогрессии положительны.

   Задача 2. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если сумма ее 3-го и 18-го членов равна 8. (Указание. Для решения задачи необходимо выпистаь по формуле общего члена выражения для указанных членов прогрессии и после этого заметить, что в распоряжении уже имеются все данные, необходимые для решения задачи.)

   Задача 3. Некоторое количество чисел составляют арифметическую прогрессию. Сумма первых пяти равна 20, сумма последних пяти равна 100. Найти количество этих чисел, если известно, что сумма всех их равна 480.

   Задача 4. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 9 дают в остатке 4.

   Задача 5. В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 250, а на нечетных - 220. Найти 9-й член прогрессии.

   Задача 6. При каких значениях параметра числа , , являются поледовательными членами арифметической прогрессии?

   Замечание. Дополнительные примеры, иллюстрирующие использование параметров в задачах "на прогрессии", будут даны ниже. Кроме того, допустимо говорить о специфическом классе задач на арифметическую прогрессию и/или геометрическую прогрессию - задачах, использующих тригонометрический материал. Часть таких задач также приводится далее по тексту. Особое внимание следует обращать в таких задачах на использование обратных тригонометрических функций. Этот материал подробно рассмотран в разделе "Тригонометрия".

    Задача 1. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на больше, чем сумма ее первых трех членов. Пятый член прогрессии равен ее третьему члену, умноженному на 4. Найти четвертый член прогрессии, если известно, что ее знаменатель положиотелен. (задача предлагалась на вступительном экзамене псих. ф-та МГУ).

   Задача 2. Определить три положительных числа, которые образуют геометрическую прогрессию, если их сумма равна 21, а сумма обратных величин равна .

   Задача 3. В геометрической прогрессии сумма первого и пятого членов равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069?

    Задача 1. Три числа. сумма которых равна 78, образуют возрастающую геометрическую прогрессии. Их же можно рассматривать как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найти большее число.

   Задача 2. Три числа являются первым, вторым и третьим членов арифметической прогрессии и, соответственно, первым, третьим и вторым членами геометрической прогрессии. Найдите эти числа, если известно, что сумма квадрата первого из них, удвоенного второго и утроенного третьего равна .

   Задача 3. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 3, 9, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найти указанные числа.

   Задача 4. В геометрической прогрессии второй член равен 8, а пятый - 512. Составить арифметическую прогрессию, у которой разность в два раза меньше знаменателя геометрической прогрессии, а суммы трех первых членов в одной и другой прогрессиях были бы равны.

   Задача 5. 5 различных чисел являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если удалить ее 2-й и 3-й члены, то оставшиеся числа будут последовательными членами геометрической прогрессии. Найти ее знаменатель.

    Задача 1. Периметр треугольника равен 21 см., длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Один из углов треугольника равен 60. Найдите все стороны треугольника. Рассмотреть все возможные случаи.

   Задача 2. Длины сторон , и треугольника образуют в указанном виде арифметическую прогрессию. Найти отношение высоты треугольника , опущенной из вершины на сторону , к радиусу вписанной окружности.

    Задача 1. Корни уравнения при некотором образуют арифметическую прогрессию. Найдите эту прогрессию.

   Задача 2. Найдите положительные , для которых все различные неотрицательные , удовлетворяющие уравнению и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

   Замечание. Задачи на прогрессии, встречающиеся на вступительных испытаниях в ВУЗы достаточно высокого уровня, довольно часто используют материал тригонометрии. Например, следующая:

   Задача 3. Числа , , являются членами геометрической прогрессии с номерами , , соответственно. Найти все значения и , если известно, что 15-й член этой прогрессии равен .

   Задача 4. Решить уравнение , зная, что у него есть три корня, образующих геометрическую прогрессию.

   Задача 5. Определить все значения параметра , при которых корни уравнения представляют собой 3 идущих подряд члена некоторой геометрической прогрессии. Найти корни уравнения.