Многочлены высших степеней

   Среди методов отыскания корней многочленов степени, большей двух, отметим разложение на множители и угадывание одного из корней с последующем делением исходного многочлена на двучлен .

   Пример 3.1. Решить уравнение .
    РЕШЕНИЕ. Разложим стоящий в левой части уравнения многочлен на множители: . Поскольку дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, исходное уравнение имеет единственный корень .
    ОТВЕТ: .

   Из полученного в только что рассмотренной задаче разложения на множители следует, что исходный многочлен делится на двучлен (то есть остаток от деления равен нулю). Вообще, имеет место следующий факт.

   Теорема 3 (Э. Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению . В частности, многочлен делится на двучлен тогда и только тогда, когда число является корнем этого многочлена.

   Алгоритм нахождения корней многочлена, основанный на этой теореме, можно описать так: сначала каким-либо образом угадывается один из корней заданного многочлена, скажем, , затем этот многочлен делится на двучлен , а далее это же рассуждение применяется к частному и т.д. В итоге получаем разложение заданного многочлена на линейные множители, одновременно находя все искомые корни.

   Теорема 4. Если рациональное число является корнем целочисленного многочлена , то делит , а делит .

   Таким образом, перебрав все комбинации пар делителей свободного и старшего членов целочисленного многочлена, можно найти его корни. отметим, что, согласно последней теореме, рациональными корнями приведенного многочлена могут быть лишь целые числа. Кроме того, если свободный коэффициент многочлена равен нулю, то одним из корней этого многочлена является нуль.

   Пример 3.2. Найти все корни многочлена .
    РЕШЕНИЕ. Сначала отыщем все рациональные корни. Поскольку делителями свободного коэффициент являются лишь числа , а делителями старшего коэффициента являются числа и только они, рациональными корнями могут быть только числа и . Непосредственная проверка показывает, что числа и являются корнями исходного многочлена, а числа и - нет. Далее, разделив наш многочлен на произведение двучленов и (как мы знаем, при этом делении остаток должен быть равен нулю), получим (проделайте это самостоятельно). Таким образом, мы получили разложение исходного многочлена на множители: , одновременно выяснив, что других корней, кроме уже найденных у него нет.
    ОТВЕТ: и .