Способы раскрытия модулей

    Приведем несколько теорем, которые полезно использовать при решении задач.

    Теорема 3.

    Теорема 4. .

    Пример 2.1. Решить уравнение .
    РЕШЕНИЕ.
        I. (Геометрический подход.) Поскольку , нам нужно найти на числовой оси все точки , расстояние от которых до точки равно . Ясно. что этих точек две: и .

        II. (Алгебраический подход.) По теореме 3 имеем или .
    ОТВЕТ: , .

    Пример 2.2. Решить уравнение .
    РЕШЕНИЕ. I. (Геометрический подход.) Поскольку , нам нужно найти на числовой оси все точки , расстояние от которых до точки равно расстоянию до точки . Ясно, что левее и правее таких точек нет. Значит, круг поисков сужается до отрезка , а так как из всех точек отрезка от его концов равноудалена лишь середина, мы получаем единственную точку .

    II. (Алгебраический подход.) По теореме 4 имеем или . Последнее уравнение решений не имеет, поэтому получаем
    ОТВЕТ: .

    Геометрический подход бывает полезен для устного решения поставленной задачи, а также для наглядности производимых с модулем действий. При этом можно считать, что действительное число и изображающая его точка на числовой прямой - одно и то же. В свою очередь, алгебраический подход является предпочтительным при оформлении письменных работ.
    В случае если уравнение содержит несколько выражений под модулем, например, имеет вид , целесообразно разбить числовую ось на промежутки, на которых каждое выражение, стоящее под модулем, сохраняет знак. Это разбиение определяется точками, в которых стоящие под модулями выражения обращаются в нуль.

    Пример 2.3. Решить уравнение .
    РЕШЕНИЕ. I. (Геометрический подход.) В задаче требуется найти все точки на числовой оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек и равна . Изобразим эти точки на числовой оси. Если точка лежит на отрезке , то сумма расстояний от нее до точек и равна длине отрезка , то есть . Следовательно, искомые точки не могут располагаться на отрезке .

    Пусть теперь точка лежит левее точки . Тогда сумма расстояний от точки до точек и равно сумме удвоенного расстояния от точки до точки и длины отрезка . Поскольку эта сумма по условию равна , мы получаем, что расстояние от точки до точки равно , а значит, .

    Случай, когда точка лежит правее точки , рассматривается аналогично. Впрочем, можно сказать, что в силу симметрии условия относительно центра отрезка в оставшемся случае расстояние от точки до точки будет также равно , поэтому еще одним решением нашей задачи является . Ясно, что других решений нет.
    II. (Алгебраический подход.) Рассмотрим три случая.

    Собирая вместе все результаты, получаем
    ОТВЕТ: , .

    Проведенные геометрические рассуждения позволяют установить, что корни уравнения заполняют отрезок , а, например, уравнение корней не имеет. Вообще, справедливо такое утверждение.

    Теорема 5. Уравнение , где ,
    1) имеет два корня, если ;
    2) имеет решением отрезок , если ;
    3) не имеет корней при .

    Разумеется, запоминать этот факт вовсе не обязательно; достаточно понять его смысл, например, представив себе геометрические картинки, соответствующие различным случаям этого утверждения.

    Пример 2.4. Решить неравенство .
    РЕШЕНИЕ. I. (Геометрический подход.) В задаче требуется найти все точки на числовой оси, разность расстояний от каждой из которых до точек и не превосходит . Изобразим эти точки на числовой оси.
    Пусть сначала точка лежит правее точки . Тогда рассматриваемая разность равна длине отрезка , то есть семи, что больше единицы.

    Пусть теперь точка лежит левее точки . Тогда рассматриваемая разность расстояний равна , а следовательно, все такие точки удовлетворяют нашему неравенству.

    Пусть, наконец, точка лежит на отрезке . Заметим, что при движении точки по этому отрезку от до рассматриваемая разность расстояний возрастает от до , причем равна лишь при (здесь можно решить систему , , где и - расстояния от точки до концов отрезка). Таким образом, получаем, что все решения исходного неравенства заполняют луч .
    II. (Алгебраический подход.) Рассмотрим три случая.

    Собирая вместе все результаты, получаем
    ОТВЕТ: .

    Еще раз подчеркнем, что геометрическая интерпретация привносит наглядность в решение задачи. Конечно, приводимые алгебраические выкладки менее длинны и более привлекательны, но, тем не менее, иногда бывает полезно и представить себе, как выглядит рассматриваемое множество на числовой прямой. Например, проведенные геометрические рассуждения позволяют установить следующий факт.

    Теорема 6. При всех действительных значениях справедливо двойное неравенство , причем если , то
    1) левое неравенство обращается в равенство ;
    2) правое неравенство обращается в равенство .

    К задач этого раздела полезно применить и алгебраический, и геометрический подходы.