Способы раскрытия модулей
Приведем несколько теорем, которые полезно использовать при решении задач.
Теорема 3.
Теорема 4. .
Пример 2.1. Решить
уравнение .
РЕШЕНИЕ.
I. (Геометрический
подход.) Поскольку ,
нам нужно найти на числовой оси все точки
,
расстояние от которых до точки
равно
.
Ясно. что этих точек две:
и
.
II. (Алгебраический подход.) По теореме 3
имеем
или
.
ОТВЕТ: ,
.
Пример 2.2. Решить
уравнение .
РЕШЕНИЕ. I. (Геометрический подход.)
Поскольку ,
нам нужно найти на числовой оси все точки
,
расстояние от которых до точки
равно расстоянию до точки
.
Ясно, что левее
и правее
таких точек нет. Значит, круг поисков
сужается до отрезка
,
а так как из всех точек отрезка от его
концов равноудалена лишь середина, мы
получаем единственную точку
.
II. (Алгебраический
подход.) По теореме 4 имеем
или
.
Последнее уравнение решений не имеет,
поэтому получаем
ОТВЕТ: .
Геометрический подход бывает полезен для
устного решения поставленной задачи, а
также для наглядности производимых с
модулем действий. При этом можно считать,
что действительное число и изображающая
его точка на числовой прямой - одно и то же. В
свою очередь, алгебраический подход
является предпочтительным при оформлении
письменных работ.
В случае если уравнение содержит
несколько выражений под модулем, например,
имеет вид ,
целесообразно разбить числовую ось на
промежутки, на которых каждое выражение,
стоящее под модулем, сохраняет знак. Это
разбиение определяется точками, в которых
стоящие под модулями выражения обращаются
в нуль.
Пример
2.3. Решить уравнение .
РЕШЕНИЕ. I. (Геометрический подход.)
В задаче требуется найти все точки на
числовой оси, сумма расстояний от каждой из
которых до точек
и
равна
.
Изобразим эти точки на числовой оси. Если
точка
лежит на отрезке
,
то сумма расстояний от нее до точек
и
равна
длине отрезка
,
то есть
.
Следовательно, искомые точки
не могут располагаться на отрезке
.
Пусть теперь точка
лежит левее точки
.
Тогда сумма расстояний от точки
до точек
и
равно
сумме удвоенного расстояния от точки
до точки
и длины отрезка
.
Поскольку эта сумма по условию равна
,
мы получаем, что расстояние от точки
до точки
равно
, а
значит,
.
Случай, когда точка
лежит правее точки
,
рассматривается аналогично. Впрочем, можно
сказать, что в силу симметрии условия
относительно центра отрезка
в оставшемся случае расстояние от точки
до точки
будет также равно
,
поэтому еще одним решением нашей задачи
является
.
Ясно, что других решений нет.
II. (Алгебраический подход.)
Рассмотрим три случая.
Собирая вместе все результаты, получаем
ОТВЕТ: ,
.
Проведенные геометрические рассуждения
позволяют установить, что корни уравнения
заполняют отрезок
,
а, например, уравнение
корней не имеет. Вообще, справедливо такое
утверждение.
Теорема
5. Уравнение ,
где
,
1) имеет два корня, если ;
2) имеет решением отрезок ,
если
;
3) не имеет корней при .
Разумеется, запоминать этот факт вовсе не обязательно; достаточно понять его смысл, например, представив себе геометрические картинки, соответствующие различным случаям этого утверждения.
Пример
2.4. Решить неравенство .
РЕШЕНИЕ. I. (Геометрический подход.)
В задаче требуется найти все точки на
числовой оси, разность расстояний от каждой
из которых до точек
и
не
превосходит
.
Изобразим эти точки на числовой оси.
Пусть сначала точка
лежит правее точки
.
Тогда рассматриваемая разность равна длине
отрезка
,
то есть семи, что больше единицы.
Пусть теперь точка
лежит левее точки
.
Тогда рассматриваемая разность расстояний
равна
, а
следовательно, все такие точки
удовлетворяют нашему неравенству.
Пусть, наконец, точка
лежит на отрезке
.
Заметим, что при движении точки
по этому отрезку от
до
рассматриваемая разность расстояний
возрастает от
до
,
причем равна
лишь при
(здесь можно решить систему
,
, где
и
-
расстояния от точки
до концов отрезка). Таким образом, получаем,
что все решения исходного неравенства
заполняют луч
.
II. (Алгебраический подход.)
Рассмотрим три случая.
Собирая вместе все результаты, получаем
ОТВЕТ: .
Еще раз подчеркнем, что геометрическая интерпретация привносит наглядность в решение задачи. Конечно, приводимые алгебраические выкладки менее длинны и более привлекательны, но, тем не менее, иногда бывает полезно и представить себе, как выглядит рассматриваемое множество на числовой прямой. Например, проведенные геометрические рассуждения позволяют установить следующий факт.
Теорема
6. При всех действительных значениях
справедливо двойное неравенство ,
причем если
,
то
1) левое неравенство обращается в
равенство ;
2) правое неравенство обращается
в равенство .
К задач этого раздела полезно применить и алгебраический, и геометрический подходы.