Определения и основные факты

    Понятие модуля, или абсолютного значения, действительного числа допускает несколько подходов. Мы начнем с геометрического истолкования этого понятия.
    Как известно, каждое действительное число можно отождествить с точкой на числовой прямой. Поскольку про каждую отличную от нуля точку можно сказать, лежит она левее нуля или правее, а также измерить расстояние от этой точки до нуля, мы можем связать с каждым действительным числом две величины: его знак и его модуль. А именно, если точка, изображающая число , лежит левее нуля, то говорят, что знак числа отрицателен, а если правее нуля, то говорят, что знак числа положителен; число знака не имеет. Модуль числа , равный расстоянию от точки, изображающей число , до нуля можно измерить для всех действительных чисел. Например, число положительно, а его модуль равен , число отрицательно, а его модуль равен ; модуль нуля равен нулю. Как мы видим, модуль положительного числа равен самому этому числа. Модуль отрицательного числа равен "минус"-этому числу, то есть противоположному числу; например, модуль числа равен . Таким образом, каждое действительно число можно записать в виде =знакмодуль. Более точно, вводятся две функции действительного аргумента , называемые знаком и модулем: и соответственно (signum - знак (лат.)). По определению полагают

    Итак, отталкиваясь от геометрической интерпретации действительного числа. мы пришли к ъорошо известному алгебраическому определению модуля.

    Теорема 1. Во введенных обозначениях имеют место тождества и .

    Дальнейшее утверждение перечисляет свойства модуля, а также раскрывает связь между модулем и арифметическими, а также алгебраическими операциями. Отметим, что значение равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа и .

    Теорема 2. Следующие свойства справедливы для всех действительных значений входящих в них переменных.
    1) , причем тогда и только тогда, когда .
    2) .
    3) ; в частности, .
    4) ; .
    5) .
    6) ; в частности и .

    Пример 1.1. Решить уравнение .
    РЕШЕНИЕ. Преобразуем левую часть уравнения: . Поскольку каждое из полученных слагаемых неотрицательно при всех значениях , рассматриваемая сумма также всегда неотрицательно, причем равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению .
    ОТВЕТ: .

    Графики функций и выглядят следующим образом. Функция разрывна в нуле и нечетна. Функция непрерывна на всей числовой прямой и четна. При отрицательных значениях переменной она убывает. а при положительных - возрастает.

    Пример 1.2. При каждом значении параметра найти число точек пересечения кривых и .
    РЕШЕНИЕ. Изобразим на плоскости данные кривые. первая из них получается с помощью сжатия и, быть может, симметрии относительно оси графика функции , а второе уравнение задает окружность радиуса с центром в точке . При кривая лежит в первой и второй четвертях включая ось (при кривая совпадает с осью ), а окружность - в третьей и четвертой, не имея общих точек с осью . Следовательно, в этом случае данные кривые не пересекаются.
    Пусть теперь . При малых по модулю значениях параметра у рассматриваемых кривых общих точек по-прежнему не будет. Затем при уменьшении параметра , произойдет касание (этот момент изображен на рисунке),

а при всех меньших значениях этого параметра будет ровно четыре общие точки. Остается лишь найти то значение параметра , при котором произойдет касание. Проведя радиус, получим египетский треугольник (то есть треугольник со сторонами , , ), из которого нетрудно найти угловой коэффициент соответствующей полупрямой: .
    ОТВЕТ: При число точек пересечения равно четырем, при - двум. а при точки пересечения отсутствуют.

    Пример 1.3. Какая геометрическая фигура задается уравнением ? Сделать чертеж.
    РЕШЕНИЕ. Нетрудно видеть, что вместе с каждой своей точкой наша фигура содержит также точки , , . Значит, нам достаточно изобразить часть этой фигуры, лежащую в первой четверти, а затем отразить полученную кривую относительно обеих осей и начала координат.
    Итак, пусть и . Тогда исходное уравнение принимает вид . Значит, лежащей в первой четверти частью фигуры является соответствующий отрезок прямой . произведя все указанные отражения этого отрезка, получим четырехугольник с равными перпендикулярными диагоналями, то есть квадрат.
    ОТВЕТ: квадрат.