Показательные неравенства
Пример
2.1. - простой пример, который
продолжает дело предыдущего параграфа. «Показательность»
в этом случае почти формальна.
РЕШЕНИЕ: так как ,
то наше неравенство эквивалентно
неравенству
.
Перенесем все в левую часть, приведем к
общему знаменателю:
ОТВЕТ: .
Пример
2.2. -
решение просто и без изысков; однако
требуется понять, что нужно сначала сделать
замену
,
получить неравенство вида
,
решить его и потом вернуться к переменной
.
РЕШЕНИЕ: Сделав замену
и получив неравенство
,
имеем:
.
Возвращаясь к переменной
,
получим
,
и так как
при любых значениях
,
наше неравенство эквивалентно неравенству
,
что выполняется при
.
ОТВЕТ: .
Пример
2.3. - задача придумана без
особого контроля качества корней; вновь в
учебных целях метод важнее результата:
здесь на самом деле самым эффективным
является (обобщенный) метод интервалов. Для
тех, кто пожелает свести неравенство с
двумя множителями к совокупности систем (такие
желающие есть практически всегда) можно
добавить еще парочку множителей, которые
сделают данный путь совсем невозможным и
добавят ловушек в эту задачу.
РЕШЕНИЕ: Преобразуем второй
множитель в неравенстве .
Определим точки, в которых обращается в
нуль первый или второй множители и где
второй множитель не определен. Это
,
,
.
Рассмотрим следующие промежутки на
числовой оси:
,
,
,
,
.
1) .
На данном промежутке
и первый множитель положителен. Второй
множитель также положителен, исключая
точку
,
где он не определен. Таким образом,
промежуток
входит в решение.
2) .
На данном промежутке первый множитель
положителен, а второй отрицателен или не
определен (в точках
и
).
Точки этого промежутка не входят в решение.
3) .
Здесь
и
первый множитель неположителен. Второй
множитель отрицателен, исключая точку
,
где он не определен. Получаем, что
промежуток
входит в решение.
4) .
Здесь первый множитель положителен, а
второй отрицателен или не определен (в
точке
).
Точки этого промежутка не входят в решение.
5) .
Точки этого промежутка входят в решение.
Получаем ответ: .
ОТВЕТ: .
Пример
2.4. - в данной задаче основная
сложность заключена в правильном
потенцировании неравенства. Однако сразу
видно, что показатели можно перемножить.
После чего задача решается стандартным
подходом.
РЕШЕНИЕ: Перемножит показатели,
получим .
В последнем неравенстве знаменатель
неотрицателен при любых значениях
,
и неравенство эквивалентно совокупности
.
ОТВЕТ: .
Пример
2.5. .
РЕШЕНИЕ: Преобразуем неравенство
к виду .
ОТВЕТ: .