На диагонали выпуклого четырехугольника находится центр окружности радиуса , касающейся сторон , и . На диагонали находится центр окружности радиуса , касающейся сторон , и . Найти площадь данного четырехугольника , если известно, что окружности касаются друг друга внешним образом.

Решение:
    Пусть в данном четырехугольнике и - центры окружностей, лежащие на диагоналях и . Точки , , являются точками касания окружности с центром со сторонами , и соответственно, точки , , - точки касания окружности с центром со сторонами , , , - основание высоты, опущенной из на .
    По условию окружности равны и касаются друг друга, следовательно, общие касательные параллельны: . Далее, (накрест лежащие). Так как и касательные, а проходит через центр окружности , то, следовательно, - биссекриса и . Следовательно, , откуда - равнобедренный и . Так как и , то - либо равнобочная трапеция, либо параллелограмм. Но параллелограммом быть не может, так как и должны лежать на средней линии , а в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть центры окружностей должны были совпасть, что невозможно по условию.
    Пусть . Тогда . Но как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, тогда . По построению , следовательно, , равнобедренный и прямоугольный, то есть . Соответственно, , , где , , .
    Ответ: .