Задача 15 из 20 |
Доказать, что если три окружности радиуса проходят через одну точку, то три другие точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности радиуса .
Решение:
Пусть все три окружности радиуса
с центрами ,
и пересекаются в точке
и попарно пересекаются в точках ,
, .
Очевидно, что середины ,
и отрезков ,
и
являются в то же время серединами отрезков ,
и
(общая хорда пересекается с отрезком, соединяющим центры окружностей). Поэтому
у каждого из треугольников и
стороны соответственно вдвое больше сторон треугольника
и параллельны им. Следовательно, .
Но радиус описанной около окружности
равен, очевидно, ().
Следовательно, радиус описанной около
окружности равен .