Задача 15 из 20 |
Доказать,
что если три окружности радиуса
проходят через одну точку, то три другие точки попарного пересечения этих окружностей
лежат на окружности радиуса
.
Решение:
Пусть все три окружности радиуса
с центрами
,
и
пересекаются в точке
и попарно пересекаются в точках
,
,
.
Очевидно, что середины
,
и
отрезков
,
и
являются в то же время серединами отрезков
,
и
(общая хорда пересекается с отрезком, соединяющим центры окружностей). Поэтому
у каждого из треугольников
и
стороны соответственно вдвое больше сторон треугольника
и параллельны им. Следовательно,
.
Но радиус описанной около
окружности
равен, очевидно,
(
).
Следовательно, радиус описанной около
окружности равен
.