История кафедрыСотрудники кафедрыОсновные направления научно-исследовательской работыКурсы л екцийСпециальные семинары кафедры


  1. Обязательный курс "Механика сплошной среды" (для студентов 2, 3, 5 курсов)  Читает:  проф. Бровко Г.Л.

    1.               Основные понятия и законы классической механики

    1.1.          Тела, масса. Взаимодействия тел. Системы сил, результирующая сила. Попарная уравновешенность, сбалансированность систем сил.

    1.2.          Мир событий как модель реального мира движущихся и взаимодействующих тел. Системы отсчета, замена системы отсчета. Движение, актуальные конфигурации тел. Основные характеристики движений и взаимодействий.

    1.3.          Основные законы классической механики: закон сохранения массы, закон соотнесенности сил и конфигураций тел, закон независимости мощности работы результирующих сил от системы отсчета. Следствия о сбалансированности и попарной уравновешенности системы сил и моментов сил.

    1.4.          Большая система активно взаимодействующих тел. Инерциальные системы отсчета. Законы инерции Ньютона. Активные силы и силы инерции, даламберово равновесие. Первый и второй законы движения Эйлера.

    2.               Основные гипотезы механики сплошной среды. Способы описания движения сплошной среды

    2.1.          Основные гипотезы механики сплошной среды: гипотеза сплошности, гипотеза распределенности массы, гипотеза распределенности массовых и поверхностных сил; контактный характер поверхностных сил. Законы движения Коши—Эйлера в механике сплошной среды.

    2.2.          Способы описания движения: материальное описание, лагранжевы способы (отсчетное и относительное описание), эйлеров способ (пространственное описание), — их эквивалентность.

    2.3.          Материальные производные скалярных, векторных и тензорных механических характеристик по времени. Представление вектора ускорения и уравнения неразрывности в лагранжевой и эйлеровой формах. Кинематический смысл дивергенции поля скоростей в эйлеровом описании. Изохорические движения, несжимаемость.

    2.4.          Траектории движения, линии тока. Установившееся (стационарное) движение. Вихрь поля скоростей (в эйлеровом описании), вихревые линии, вихревые поверхности. Кинематические теоремы Гельмгольца о вихревых трубках. Безвихревые (потенциальные) движения.

    3.               Деформации материальных частиц среды. Тензоры деформаций Грина и Альманзи

    3.1.          Понятие деформации элементарных материальных частиц по Коши. Аффинор деформации, однородная деформация. Полярное разложение аффинора деформации: правый и левый тензоры растяжений (чистой деформации), тензор вращений (поворота), правые и левые главные оси деформации, главные удлинения. Примеры: жесткое движение, чистая деформация.

    3.2.          Кратности удлинений элементарных материальных волокон и изменение углов между ними в процессе деформации. Подходы Коши—Грина и Коши—Альманзи к описанию деформаций. Меры деформаций Коши и Альманзи, тензоры деформаций Грина и Альманзи.

    3.3.          Ориентированные элементарные площадки и элементарные объемы. Деформации элементарных площадок и объемов.

    4.               Тензоры дисторсий. Выражение тензоров деформаций через вектор перемещений. Случаи малых деформаций, малых дисторсий и классический случай «малых деформаций»

    4.1.          Тензоры дисторсий. Выражение тензоров деформаций Грина и Альманзи через вектор перемещений, компонентные представления.

    4.2.          Аддитивные тензоры растяжений и поворота. Случаи малых деформаций, малых дисторсий, классический случай «малых деформаций» (малые дисторсии и перемещения). Линейный тензор деформаций Коши.

    4.3.          Относительное удлинение материального волокна, (угловой) сдвиг двух материальных волокон, относительное изменение объема в случаях малых деформаций и малых дисторсий (а также в классическом случае малых деформаций). Кинематический смысл декартовых компонент линейного тензора деформаций Коши.

    5.               Наложение деформаций. Скорости деформаций, спин. Аналогия теории скоростей деформаций и классического случая малых деформаций, уравнения совместности деформаций Сен-Венана

    5.1.          Замена отсчетной конфигурации. Актуальная конфигурация в качестве новой отсчетной (относительное описание). Наложение деформаций. Тензоры скоростей дисторсий, скоростей деформаций и скоростей вращений (спин), их связь с тензорами дисторсий, деформаций и вращений относительного описания. Связь тензоров скоростей деформаций и скоростей вращений с тензорами растяжений и поворота отсчетного (лагранжева) описания.

    5.2.          Кинематический смысл спина и тензора скоростей деформаций, скорость относительного удлинения волокна, скорость (углового) сдвига двух волокон, скорость относительного изменения объема.

    5.3.          Аналогия теории скоростей деформаций и классического случая малых деформаций. Ротор векторного и тензорного полей, следствия формулы Стокса для потенциальных и безвихревых полей. Уравнения совместности Сен—Венана, тензор несовместности.

    6.               Теория напряжений. Тензор напряжений Коши, механический смысл компонент, свойство взаимности. Тензоры условных напряжений

    6.1.          Напряженное состояние среды. Постулат Коши. Основная лемма и фундаментальная теорема Коши о существовании тензора напряжений.

    6.2.          Тензор истинных напряжений Коши. Нормальные и касательные напряжения, смысл декартовых компонент тензора напряжений. Теорема взаимности Коши, свойство парности касательных напряжений (декартовых компонент напряжений). Главные оси напряжений, главные напряжения. Пример напряженного состояния при одноосном растяжении.

    6.3.          Тензоры условных напряжений Пиолы—Кирхгофа первого и второго рода, «энергетический» тензор напряжений Ильюшина. Лагранжево и смешанное описание напряженного состояния (вектора напряжений). Связь компонент тензоров напряжений в лагранжевых (в отстчетной и актуальной конфигурациях) и смешанном базисах. Связь между различными тензорами напряжений в случаях малых деформаций и малых дисторсий.

    7.               Уравнения баланса в механике сплошной среды (локальная форма). Граничные и начальные условия. О постановках краевых задач

    7.1.          Общее уравнение баланса и общее уравнение поля в механике сплошной среды. Пример: баланс удельного объема и уравнение неразрывности. Следствия основной леммы Коши о попарной уравновешенности контактных и массовых сил и их моментов. Учет внутренних массовых сил в активных взаимодействиях тел большой системы (и их частей). Независимость суммарной плотности (внешних и внутренних) активных массовых сил от выбора тела данной большой системы.

    7.2.          Баланс количества движения и первое уравнение движения Коши. Баланс момента количества движения и второе уравнение движения Коши (симметричность тензора напряжений). Представление уравнений движения через тензоры условных напряжений в лагранжевом описании.

    7.3.          Граничные и начальные условия. Основная система соотношений (начально-) краевой задачи механики сплошной среды в лагранжевом описании и в классическом случае “малых деформаций”. Динамика, квазистатика, статика, необходимые условия статического равновесия. Основная система соотношений (начально-) краевой задачи в эйлеровом описании. Динамика, квазистатика, стационарные движения.

    8.               Основные принципы общей теории определяющих соотношений сплошных сред. Гипотеза макроскопичности. Общие приведенные формы определяющих соотношений классических сред (простых тел) А.А.Ильюшина и У.Нолла

    8.1.          Внешние воздействия и динамические процессы в телах. Преобразование компонент динамического процесса при замене системы отсчета. Понятия механических свойств сопротивления тел деформированию и определяющих соотношений.

    8.2.          Основные принципы общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды: упрощающие предположения о внутренних массовых взаимодействиях; предыстория движения, принцип детерминизма и причинности; принцип локальности; принцип материальной независимости от системы отсчета. Гипотеза макроскопичности механических свойств материалов, простые материалы. Рамки классической механики сплошной среды.

    8.3.          Совместные следствия гипотезы и основных принципов. Общие приведенные формы определяющих соотношений классической механики сплошной среды А.А.Ильюшина и У.Нолла, их эквивалентность.

    9.               Материалы с внутренними связями: принцип детерминизма и определяющие соотношения

    9.1.          Тела с внутренними кинематическими связями. Применение основных принципов теории определяющих соотношений к уравнению кинематических связей, общая приведенная форма уравнения простой кинематической связи (для классических сред).

    9.2.          Материалы с простейшими (простыми мгновенными) внутренними кинематическими связями: принцип детерминизма и определяющие соотношения. Примеры: несжимаемость, нерастяжимость, абсолютная твердость.

    10.          Некоторые классы материалов. Определяющие эксперименты. Конечная предыстория тел, старение. Примеры классических сред

    10.1.       Некоторые общие классы определяющих соотношений механических свойств сопротивления деформированию: единообразные и однородные тела, склерономные и реономные свойства, материалы с конечной и инфинитезимальной памятью, с мгновенной реакцией (упругие), изотропия и анизотропия свойств.

    10.2.       Экспериментальная воспроизводимость реакций тел. М-эксперименты. Экспериментальное исследование свойств материалов. Теория определяющих экспериментов. Конечная предыстория деформации, старение тел. Практика эксперимента с однородными образцами: некоторые виды образцов и однородных (квазиоднородных) состояний, типичные эксперименты.

    11.            Примеры классических сред

    11.1.       Простейшие жидкости: текучесть, изотропия. Соответствие определяющим соотношениям У.Нолла и А.А.Ильюшина. Сжимаемость и несжимаемость. Простейшие жидкости с линейными определяющими соотношениями: эйлерова (идеальная) жидкость, ньютонова (линейно вязкая) жидкость. Гидростатика, непроявление вязкости.

    11.2.       Упругое тело. Гиперупругость, изотропия, линейность определяющей функции. Несжимаемость. Основные предположения классической теории упругости. Закон Гука. Аналогия определяющих соотношений ньютоновой жидкости и классического изотропного линейно упругого тела.

    12.            О задачах механики сплошной среды для простейших классических сред

    12.1.       Задачи гидромеханики идеальных жидкостей. Уравнения Эйлера. Случай несжимаемых однородных жидкостей. Гидростатика, необходимые условия.

    12.2.       Задачи гидромеханики линейно-вязких жидкостей. Уравнения Навье—Стокса. Гидростатика: совпадение с поведением идеальной жидкости.

    12.3.       Задачи классической линейной теории упругости. Уравнения Ляме.

    Литература

    1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
    2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. М.: Наука, 1984.
    3. Трусделл К.А. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.
    4. Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.
    5. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.
    6. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974.
    7. Механика сплошных сред в задачах (под ред. М.Э.Эглит). Т.1,2. М.: Московский лицей, 1996.
    8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.
    9. Постников М.М. Лекции по геометрии. Ч.1. Аналитическая геометрия. Ч.2. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука. Ч.1.—1986. Ч.2.—1986.

      1.               Элементы классической гидромеханики

      1.1.          Гидростатика. Уравнения гидростатики, необходимые условия их выполнения. Граничные условия. Задачи гидростатики. Закон Паскаля, гидравлические машины. Равновесие жидкостей и газов в поле сил тяжести; формула Торричелли, статические модели океана и атмосферы.

      1.2.          Сила и момент сил воздействия со стороны покоящейся жидкости на погруженное в нее тело. Закон Архимеда, выталкивающая сила. Однородное поле сил тяжести: неполное погружение, контакт с дном и стенками сосуда. Линия действия выталкивающей силы, вопросы устойчивости равновесия погруженных в жидкость и плавающих тел.

      1.3.          Покой жидкости в неинерциальных системах отсчета («псевдогидростатика»). Примеры покоя жидкости в сосудах, движущихся относительно инерциальной системы отсчета: сосуд, движущийся с постоянным ускорением, сосуд, вращающийся с постоянной угловой скоростью.

      1.4.          Гидродинамика идеальных жидкостей. Уравнения Эйлера, уравнения в форме Громеко—Лэмба. Задачи о течении сжимаемых и несжимаемых идеальных жидкостей в стационарном и нестационарном режимах. Граничное условие непроникания.

      1.5.          Первый интеграл уравнений движения идеальных однородных жидкостей в случае установившегося течения (интеграл Бернулли): условия и основные случаи выполнения. Интеграл Бернулли для идеальной несжимаемой однородной жидкости в поле сил тяжести Примеры: истечение жидкости из большого сосуда, трубка Пито—Прандтля, обтекание несимметричного крылового профиля.

      1.6.          Установившиеся течения идеальных однородных жидкостей в тонких трубках переменного поперечного сечения. Несжимаемые жидкости, пульверизатор. Сжимаемые жидкости: течения в трубках с дозвуковыми и сверхзвуковыми скоростями. Сопло Лаваля.

      1.7.          Потенциальные течения идеальных жидкостей. Интеграл Коши—Лагранжа. Случай установившегося течения. Задачи о потенциальных течениях сжимаемых и несжимаемых жидкостей.

      1.8.          Потенциальные течения несжимаемых идеальных однородных жидкостей. Уравнение неразрывности, оператор Лапласа, фундаментальные решения: источники, стоки, диполи. Плоские течения: потенциал, функция тока, комплексный потенциал, комплексная скорость.

      1.9.          Обтекание сферы. Парадокс Даламбера. Присоединенная масса.

      1.10.       Распространение малых потенциальных возмущений в идеальной сжимаемой однородной жидкости (акустика). Волновое уравнение. Плоские и сферические волны. Движущиеся источники: эффект Допплера, конус Маха.

      1.11.       Кинематические теоремы Гельмгольца и общие теоремы гидромеханики идеальных жидкостей. Теорема Томсона и ее следствия (теоремы Лагранжа и Гельмгольца).

      1.12.       Гидромеханика вязких жидкостей. Уравнения Навье—Стокса для линейно-вязких (ньютоновых) жидкостей. Постановки задач, граничное условие прилипания.

      1.13.       Течение несжимаемой однородной вязкой жидкости в цилиндрической трубе. Решение Пуазейля.

      1.14.       Вискозиметрические течения: плокопараллельное установившееся течение между смещающимися плоскими стенками (простой сдвиг), установившееся течение несжимаемой вязкой жидкости между вращающимися коаксиальными цилиндрами. Возможные упрощения в задачах гидромеханики вязких жидкостей. Медленные течения, приближение Стокса.

      1.15.       Размерности физических величин. Системы единиц измерения. Родственные системы единиц, инвариантность физических соотношений относительно выбора системы единиц. П‑теорема.

      1.16.       Применение методов теории размерностей и подобия в моделировании течений жидкостей. Натура и модель, совпадение безразмерных характеристик. Моделирование процессов обтекания тел. Примеры определения подъемной силы (силы сопротивления) при обтекании идеальной жидкостью, вязкой жидкостью (число Рейнольдса), в том числе с учетом сил тяжести (число Фруда) и сжимаемости жидкости (число Маха).

      1.17.       Понятие пограничного слоя. Уравнения ламинарного пограничного слоя обтекания полубесконечной пластины вязкой несжимаемой жидкостью (уравнения Прандтля).

      1.18.       Задача об установившемся обтекании полубесконечной пластины вязкой несжимаемой жидкостью (задача Блазиуса). Толщина пограничного слоя, касательные напряжения на поверхностях пластины, толщина вытеснения.

      2.               Элементы классической теории упругости

      2.1.          Общие теоремы механики сплошной среды: принцип виртуальных мощностей, теорема о работе и кинетической энергии. Независимость мощности работы (по преодолению) внутренних сил от системы отсчета. Упругость, гиперупругость. Удельный и полный потенциалы внутренних сил (напряжений). Запасенная (потенциальная) энергия гиперупругого тела.

      2.2.          Функция связи тензора напряжений и тензора деформаций в упругом теле. Свойства изотропии, линейности и потенциальности функции, их сопоставление. Монотонность функции и выпуклость ее потенциала. Условия монотонности линейной и линейной изотропной функции. О дополнительных неравенствах в теории упругости.

      2.3.          Лагранжева постановка начально-краевой задачи нелинейной теории упругости. Особенности задания массовых сил и силовых граничных условий. Неединственность решения, примеры. Основные положения классической линейной теории упругости, упрощения в постановке краевой задачи.

      2.4.          Общие теоремы классической линейной теории упругости: теорема Клапейрона о «работе» и потенциальной энергии, теорема взаимности Бетти. Примеры применения теоремы Бетти.

      2.5.          Постановка начально-краевой задачи классической линейной теории упругости. Динамика, статика, квазистатика. Граничные условия для вектора перемещений (кинематические) и для вектора напряжений (силовые). Первая, вторая и смешанная краевые задачи. Уравнения Ламе, постановка задач в перемещениях.

      2.6.          Краевые задачи статики классической линейной теории упругости. Необходимые условия разрешимости второй краевой задачи. Строгая монотонность связи тензоров напряжений и деформаций, и теорема о единственности решения.

      2.7.          Простейшие задачи классической линейной теории упругости: чисто объемная деформация, простой сдвиг плоского упругого слоя, одноосное растяжение (сжатие). Константы упругости изотропного тела: модуль объемного сжатия, модуль сдвига, модуль Юнга, коэффициент Пуассона, — их механический смысл и связь с константами Ламе.

      2.8.          Кинематически возможные и статически возможные поля для задачи статики линейной теории упругости. Понятие о корректности задачи. Вариационный принцип Лагранжа.

      2.9.          Дополнительные потенциалы. Вариационный принцип Кастильяно.

      2.10.       Постановка второй краевой задачи статики линейной теории упругости в напряжениях. Уравнения Бельтрами—Мичелла.

      2.11.       Кручение призматического упругого бруса. Крутка, депланация. Связь крутки и крутящего момента. Точное решение для круглого стержня. Подход с использованием функции напряжений. Аналогия с течением Пуазейля.

      2.12.       Представление решений уравнения Ламе для статики в форме Папковича—Нейбера.

      2.13.       Понятие об обобщенных функциях (распределениях). Распределения, сосредоточенные в точке. Понятие о сосредоточенных силах и фундаментальных решениях в математической теории упругости. Тензор перемещений Грина. Теорема Максвелла о взаимности работ сосредоточенных сил.

      2.14.       Формула Сомильяны. Представление решений краевых задач классической линейной теории упругости для ограниченной области и для всего пространства через соответствующие фундаментальные решения. Фундаментальные решения Кельвина для пространства.

      2.15.       Плоская деформация в классической линейной теории упругости. Задача Ламе для толстостенной трубы. Антиплоская деформация. Осевой сдвиг полого кругового цилиндра.

      2.16.       Плоское напряженное состояние и обобщенное плоское напряженное состояние в классической линейной теории упругости. Деформация вращающегося тонкого диска под действием центробежных сил.

      2.17.       Статические задачи механики сплошной среды при отсутствии массовых сил: представление тензорного поля напряжений через тензор функций напряжений. Плоские задачи классической теории упругости при отсутствии массовых сил: представление тензора напряжений через функцию напряжений Эри. Бигармоничность функции Эри. Постановка второй плоской краевой задачи линейной теории упругости в терминах функции Эри.

      2.18.       Анализ уравнений динамики классической линейной теории упругости изотропного тела: потенциальные и соленоидальные решения. Скорости распространения продольных и поперечных волн. Примеры плоских продольных и поперечных волн. Приближенная теория продольных волн в стержнях. Стержневая скорость распространения возмущений.

      2.19.       Сферические волны в упругих телах. Деформация упругого пространства со сферической полостью под действием равномерной поверхностной динамической нагрузки.

      2.20.       Основные типы задач динамики линейной теории упругости. Начально-краевая задача; случай свободной границы и отсутствия массовых сил (свободное движение, или свободные колебания тела). Задача об установившихся колебаниях упругого тела; случай однородных граничных условий и отсутствия массовых сил (собственные колебания).

      Литература

      Общие источники
      1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
      2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. М.: Наука, 1984.
      3. Трусделл К.А. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.
      4. Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.
      5. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.
      6. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974.
      7. Механика сплошных сред в задачах (под ред. М.Э.Эглит). Т.1,2. М.: Московский лицей, 1996.

       

      Специальные источники
      1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч.1. Ч.2. ГИФМЛ. М.: 1963.
      2. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1972.
      3. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
      4. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
      5. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.
      6. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976.

       

      Дополнительная литература
      1. Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ. ГИТТЛ. М. - Л.:1947.
      2. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.
      3. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935.
      4. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.
      5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
      6. Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992.
  2. Спецкурс "Теория упругости" (для студентов 3-го курса)
    • Читают: ст.н.с. Э.А.Леонова, ст.н.с. А.П.Шмаков

      1.     Основные постулаты и фундаментальные законы механики сплошной среды. Отсчетная и актуальная конфигурации. Меры и тензоры деформации Коши-Грина и Альманзи. Эквивалентность способов описания. Способы выражения тензоров деформации через вектор перемещения. Представления тензора напряжения. Общие свойства определяющих соотношений для упругих тел. Примеры.

      2.      Гипотезы классической теории упругости. Малые градиенты вектора перемещения; следствия. Линейный тензор деформации. Разложение тензоров Коши-Грина и Альманзи на линейный тензор деформации и вектор поворота. Малые деформации; следствия. Малые повороты; следствия. Малые перемещения; следствия.

      3.     Определение вектора перемещения по тензору деформаций. Условия совместности. Тензор несовместности. Условия совместности в форме Сен-Венана. Определение вектора перемещения по линейному тензору деформаций. Формула Чезаро. Односвязные и неодносвязные тела.

      4.     Термодинамические основы классической теории упругости. Первый и второй законы  термодинамики для упругого тела. Внутренняя энергия, свободная энергия, энтальпия, термодинамический потенциал. Гипотеза естественного состояния. Изотермические и адиабатические процессы. Закон Гука для анизотропных и изотропных тел. Модули упругости и их экспериментальное определение. Теплоемкости. Теплопроводность в деформируемой среде.

      5.     Термоупругость. Замкнутая система уравнений. Динамические и квазистатические процессы. Замкнутая система уравнений для однородного изотропного упругого тела. Общие решения. Типы граничных условий. Первая и вторая основные задачи. Смешанные краевые задачи.

      6.     Постановка задач теории упругости в перемещениях. Уравнения Ламе.  Постановка задач теории упругости в напряжениях. Уравнения Бельтрами – Мичелла. Теорема единственности Кирхгоффа. Односвязные и неодносвязные тела. Теорема взаимности Бетти.

      7.     Принцип Сен-Венана. Задача Сен-Венана. Примеры.

      8.     Вариационные постановки краевых задач  теории упругости. Вариационный принцип Лагранжа.  Вариационный принцип Кастильяно. Принцип стационарности Рейсснера. Эквивалентность классической и вариационной постановок.  Методы, основанные на вариационных постановках.

      9.     Фундаментальные решения уравнений статики теории упругости. Тензор влияния. Теорема Максвелла. Действие сосредоточенной силы в неограниченном пространстве. Тензор Кельвина. Задачи Буссинеска и Черрути.

      10. Потенциалы теории упругости. Первый потенциал и его свойства. Второй потенциал и его свойства. Поведение потенциалов на бесконечности. Определение поля перемещений.

      11.       Интегральные уравнения краевых задач. Интегральные уравнения первой внутренней и внешней краевых задач. Интегральные уравнения второй внутренней и внешней краевых задач.

      12. Теоремы существования и единственности.  Теоремы существования и единственности решения первой внутренней и второй внешней краевых задач. Теоремы существования и единственности первой внутренней и второй внешней краевых задач.

      13. Постановка задач для составных и неоднородных тел. Неоднородные и кусочно неоднородные тела. Простейшие точные решения. Контактные задачи.

      14. Плоская задача теории упругости.  Плоская деформация. Плоское напряженное состояние. Замкнутая система уравнений. Граничные условия. Примеры. 

      ЛИТЕРАТУРА        

      Основная

      1.     Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

      2.     Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

      3.     Ляв А. Математическая теория упругости. М.—Л.: ОНТИ, 1935.

      4.     Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М. 1979. 

      По специальным вопросам

      1.     Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Баселейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1968.

      2.     Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

      3.     Победря Б.Е., Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: ФАН, 1988.

      4.     Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукштс М.В. Интегральные уравнения в теории упругости. Изд-во С.-П. Гос. Ун-та, 1994.

      5.     Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М., 19

  3. Спецкурс "Основы теории конечных деформаций" (для студентов 3-го курса)
    • Читает: проф. Бровко Г.Л.

      1.     Тела, масса, вселенная. Взаимодействия отделенных тел, системы сил, результирующая сила. Мир событий, системы отсчета, пространство мест (конфигураций) и пространство моментов времени. Замена системы отсчета. Движение, актуальные конфигурации тел. Основные характеристики движений и взаимодействий: перемещение, скорость, ускорение, количество движения, момент количества движения, кинетическая энергия, момент сил, мощность работы сил взаимодействия отделенных тел.

      2.     Основные законы классической механики: закон сохранения массы, закон соотнесенности сил и конфигураций тел, закон независимости мощности работы результирующих сил от системы отсчета. Преобразование основных характеристик движений и взаимодействий при замене системы отсчета. Сбалансированность системы сил, следствие о действии и противодействии.

      3.     Законы инерции Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Первый и второй законы движения Коши—Эйлера.

      4.     Основные гипотезы механики сплошной среды: гипотеза сплошности, гипотеза распределенности массы, гипотеза распределенности массовых и поверхностных (контактных) сил. Законы движения Коши—Эйлера в механике сплошной среды.

      5.     Способы описания движения: материальный, отсчетный (лагранжев), относительный, пространственный (эйлеров), — их эквивалентность. Материальные производные скалярных, векторных и тензорных механических характеристик по времени. Представление вектора ускорения и уравнения неразрывности в лагранжевой и эйлеровой формах. Изохорические движения, несжимаемость. Траектории движения, линии тока. Установившееся (стационарное) движение.

      6.     Понятие деформации по Коши. Аффинор деформации, полярное разложение. Правый и левый тензоры растяжений, тензор вращений (поворота). Правые и левые главные оси деформации, главные удлинения. Однородная деформация. Примеры: жесткое движение, чистая деформация.

      7.     Подходы Коши—Грина и Коши—Альманзи к описанию деформаций. Меры деформаций Коши, Альманзи и Фингера. Тензоры деформаций Грина и Альманзи, взаимные тензоры деформаций. Деформации элементарных площадок и объемов.

      8.     Тензоры дисторсий. Выражение тензоров деформаций через вектор перемещений. Случаи малых деформаций, малых дисторсий, классический случай “малых деформаций”. Линейный тензор деформаций Коши. Специальный случай малых поворотов и больших деформаций, линейный тензор деформаций Коши как мера больших деформаций.

      9.     Наложение деформаций. Тензоры скоростей дисторсий, скоростей деформаций и скоростей вращений (спин), их связь с тензорами дисторсий, деформаций и вращений относительного описания. Кинематический смысл тензоров скоростей деформаций и скоростей вращений, связь с тензорами растяжений и поворота отсчетного описания. Тензоры скоростей дисторсий и скоростей деформаций высшего порядка, тензоры Ривлина—Эриксена. Преобразования при замене системы отсчета, формула Зарембы‑Зоравского.

      10.  Напряженное состояние среды. Постулат Коши, основная лемма. Фундаментальная теорема Коши, доказательство У.Нолла. Тензор истинных напряжений Коши. Нормальные и касательные напряжения. Теорема взаимности Коши, свойство парности декартовых компонент напряжений. Главные оси напряжений, главные напряжения.

      11.  Лагранжево и смешанное описание напряженного состояния. Тензоры условных напряжений Пиолы—Кирхгофа первого и второго рода, “энергетический” тензор напряжений Ильюшина. Связь между различными тензорами напряжений в случаях малых деформаций и малых дисторсий. Возможные упрощения в случае малых поворотов и больших деформаций, о симметричности первого тензора Пиолы—Кирхгофа.

      12.  Уравнения баланса в механике сплошной среды (локальная форма): уравнения неразрывности, первое и второе уравнения движения Коши. Представление уравнений движения через тензоры условных напряжений в лагранжевом описании.

      13.  Граничные и начальные условия. Основная система соотношений начально-краевой задачи механики сплошной среды в лагранжевом описании; квазистатика, статика, необходимые условия статического равновесия. Особенности и практические трудности формулировок краевых задач в лагранжевом описании. Основная система в классическом случае “малых деформаций”, снесение действия массовых сил и граничных условий на отсчетную (недеформированную) конфигурацию тела. Основная система соотношений начально-краевой задачи в эйлеровом описании; квазистатика, статика, стационарные движения. Предыстория деформации среды, втекающей в эйлерову область, принципиальная ограничительность эйлеровых постановок краевых задач.

      14.  Внешние воздействия и динамические процессы в телах, их взаимосвязь и преобразование при замене системы отсчета. Механические свойства сопротивления тел деформированию, определяющие соотношения. Упрощающие предположения о внутренних массовых взаимодействиях. Предыстория движения. Основные принципы общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды: принцип детерминизма и причинности, принцип локальности, принцип материальной независимости от системы отсчета.

      15.  Гипотеза макрофизической определимости, классические среды (простые материалы). Совместные следствия гипотезы и основных принципов. Общие приведенные формы определяющих соотношений классической механики сплошной среды А.А.Ильюшина и У.Нолла, их эквивалентность.

      16.  Материалы с внутренними кинематическими связями: принцип детерминизма и определяющие соотношения. Примеры: несжимаемость, нерастяжимость, абсолютная твердость.

      17.  Некоторые общие классы определяющих соотношений механических свойств сопротивления деформированию: единообразные и однородные тела, склерономные и реономные свойства, материалы с конечной и инфинитезимальной памятью, с мгновенной реакцией (упругие), изотропия и анизотропия свойств.

      18.  Экспериментальная воспроизводимость реакций тел. М-эксперименты. Теория и практика определяющих экспериментов. Конечная предыстория деформации, старение тел. Некоторые типичные эксперименты.

      19.  Построение приведенных форм определяющих соотношений сред по заданному набору определяющих параметров. Набор параметров простейших жидкостей, приведенная форма определяющего соотношения. Частные случаи: классические идеальная и линейно вязкая жидкость.

      20.  Набор параметров упругого тела, приведенная форма определяющего соотношения. О дополнительных неравенствах в нелинейной теории упругости. Основные предположения классической теории упругости.

      21.  Подходы к моделированию сложных свойств сред при конечных деформациях. Понятия скоростей изменения тензоров во времени: объективные производные. Коротационная производная Яуманна. Производные Олдройда, Коттер‑Ривлина, интегрируемость. Производные Трусделла, Хилла, косые производные Седова.

      22.  Общие свойства объективных производных конвективно-коротационного типа. Особые свойства коротационных производных. О моделях гипоупругости с различными объективными производными. Модель с производной Яуманна, «аномалия» простого сдвига. Нейтральная производная Динса, исключение «аномалии»; аналогия с дополнительными неравенствами в нелинейной теории упругости.

      23.  Подходы к построению обобщенных тензорных мер напряжений и конечных деформаций. Основные требования к мерам. Связь с выбором объективных производных.

    • Литература.

      1.        Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

      2.        Трусделл К.А. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.

      3.        Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. М.: Наука, 1984.

      4.        Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.

      5.        Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: ИЛ, 1963.

      6.        Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.

      7.        Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

      8.        Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965.

      9.        Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979.

      10.     Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978.

      11.     Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

      12.     Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988.

      13.     Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

      14.     Постников М.М. Лекции по геометрии. Ч.1. Аналитическая геометрия. Ч.2. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука. Ч.1.—1986. Ч.2.—1986.

      15.     Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. Arch. Rat. Mech. Anal. 1958. V.2. Pp.197-226.

      16.     Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state. Proc. Roy. Soc. London. A. 1950. V.200. Pp.523-541.

      17.     Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors assotiated with time-dependent stress. Quart. Appl. Math. 1955. V.13. No2. Pp.177-188.

      18.     Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Appl. Mech. N.-Y. - L.: Acad. Press. 1978. V.18. Pp.1-75.

      19.     Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях. Докл. АН СССР. 1989. Т. 308. № 3. С.565-570.

      20.     Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 1. С.54-60.

      21.     Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред. ПММ. 1990. Т.54. Вып.5. С.814-824.

  4. Спецкурс "Пластины и оболочки" (для студентов 3-го курса)
    • Читает: доц. Кеппен И.В.

               Основные гипотезы

      Численный изгиб пластины. Малые прогибы поперечно нагруженной пластины.

      Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности. Граничные условия.

      Свободно опертая прямоугольная пластина под    синусоидальной нагрузкой. Решение Навье для свободно опертой прямоугольной пластины. Большие прогибы пластины. Общие уравнения для больших прогибов пластины.

               Основные понятия и гипотезы  теории оболочек.

      Закон изменения перемещений по толщине оболочки. Деформация оболочки и ее срединной поверхности. Соотношения неразрывности деформаций срединной поверхности.

      Усилия и моменты. Равновесие элемента, выделенного из оболочки. Потенциальная энергия деформации оболочки. Соотношения между усилиями, моментами и деформациями срединной поверхности. Граничные условия. Формулировка соотношений неразрывности в усилиях и моментах. Два пути решения задач теории оболочек. Безмоментная теория оболочек. Основные уравнения безмоментной теории оболочек. Условия существования безмоментного напряженного состояния.Безмоментная  теория оболочек вращения произвольной формы.

       Литература.

      1.     ТимошенкоС.П., Войновский–Кригер С. Пластины и оболочки  Гос.   Изд-во  физико-математической литературы. М., 1963.

      2.     Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Государственное союзное изд-во судостроительной промышленности. Ленинград, 1962.

  5. Спецкурс "Прочность и разрушение материалов и элементов конструкций" (для студентов 3-го курса)
    • Читает: доц. Завойчинская Э.Б.
    • В курсе рассматриваются статические нагружения материалов и элементов конструкций, технологические и эксплуатационные факторы, влияющие на пределы статической прочности; формулируются гипотезы статической прочности. Обсуждаются особенности длительной прочности и циклической прочности материалов и элементов конструкций. Представляются основные положения механики разрушения. Обсуждается явление концентрации напряжений в элементах конструкций. Рассматриваются различные гипотезы длительной и циклической прочности; линейная теория повреждений А.А.Ильюшина; подход к описанию прочности, в котором повреждение описывается линейным переходом на процессе нагружения.

    • Литература.

      1. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. М.: Мир, 1984.
      2. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. Механика разрушения и прочность материалов. Киев: Наукова Думка, 1988.
      3. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

       

  6. Спецкурс "Пластичность" (для студентов 4-го курса)
    • Читает: проф. Бровко Г.Л., проф. Молодцов И.Н., проф. Васин Р.А., доц. Мартынова Е.Д.

    • Часть1. Основы теории пластичности.

      • 1.     Некоторые сведения из МСС и тензорного анализа (кинематика сплошной среды, напряженное состояния и малые деформации тела, определяющие соотношения материала; симметричные тензоры второго ранга и  направляющий тензор). Типичные экспериментальные данные о неупругом поведении материалов (диаграмма одноосного деформирования). Некоторые свойства материалов при неодноосном  нагружении. Временные эффекты. Предмет математической теории пластичности.

      2.     Общие сведения о математических моделях упругопластических материалов (инкрементальные теории, теория течения; деформационные теории; физические теории, теория скольжения; истокообразные модели, эндохронная теория).  

      3.     Определяющие соотношения  теории малых упругопластических деформаций (законы активного нагружения и разгрузки); их идентификация. Определяющие соотношения Генки.

      4.     Работа напряжений. Потенциальная энергия. Вариационное уравнение Лагранжа.

      5.     Постановки краевой задачи  теории малых упругопластических деформаций. Теорема единственности.

      6.     Теорема о минимуме работы  внутренних сил. Теорема о простом нагружении. Теорема о разгрузке.

      7.     Метод Ритца. Метод Бубнова—Галеркина . Метод упругих решений. Метод переменных параметров упругости.

      8.     , 9. Простейшие краевые задачи:

      1) Толстостенный цилиндр под действием внутреннего и внешнего давления.

      2)                Кручение упругопластического стержня.

      3)                Изгиб и растяжение бруса.

      10.            Теория течения: основные понятия и гипотезы. Поверхности нагружения (начальная и последующая; гладкая и с угловой точкой). Материалы идеально пластические и упрочняющиеся.

      11. Принцип градиентальности; ассоциированный и неассоциированный законы течения. Постулат пластичности. Общая запись определяющих соотношений классической теории течения.

      12. Конкретные варианты определяющих соотношений теории течения для упрочняющихся материалов.

      13. Сингулярные поверхности нагружения. «Многоповерхностная»  теория течения.

      14. Плоская деформация идеально пластического тела. Линии скольжения. Формулы Леви. Равновесие элемента скольжения. Интегралы Генки.

      15. Определение поля скоростей. Интегралы Х.Гейрингер.

      16. Плоская задача о вдавливании штампа.

      17. Задача о сжатии слоя шероховатыми плитами.

      Литература

       1.     А.А.Ильюшин. Механика сплошной среды. Изд-во Моск. ун-та, 1990.

      2.     А.А.Ильюшин. Пластичность. Часть первая. Упруго-пластические деформации. М., «Логос», 2004г..

      3.     В.С.Ленский. Введение в теорию пластичности. Изд-во Моск. ун-та. 1968.

      4.     В.Г.Зубчанинов. Математическая теория пластичности. Тверь, ТГТУ, 2002 г.

      5.     В.Д.Клюшников. Математическая теория пластичности. М., Изд-во Моск. ун-та.

      6.     Р.Хилл. Математическая теория пластичности. М., ГИТТЛ. 1956.

      7.     Л.М.Качанов. Основы теории пластичности. М., ГИТТЛ, 1956.

      8.     Победря Б.Е.   Численные методы в теории упругости и пластичности. М. Изд-во МГУ, 1995

      Часть 2. Основы общей математической теории.

      1.     Процессы деформации и нагружения (процесс и реакция), определяющие соотношения деформируемых тел. Гипотеза макрофизической определимости, М‑опыты. Постулат макроскопической определимости Ильюшина.

      2.     Общий постулат изотропии. Представление изотропных скалярнозначных и тензорнозначных функций и отображений (функционалов, операторов) от симметричного тензорного аргумента.

      3.     Пятимерное пространство изображений, канонический тензорный базис Ильюшина. Векторы и траектории деформации и нагружения. Ортогональные преобразования пространства изображений, представление по Картану. Понятие образа процесса.

      4.     Постулат изотропии Ильюшина. Изотропные скалярнозначные и векторнозначные функции и отображения векторного аргумента. Собственные базисы траектории деформации, собственный репер Френе. Разложение вектора нагружения в собственном базисе траектории деформации, эквивалентная формулировка постулата изотропии (зависимость компонент вектора нагружения, а также среднего напряжения от траектории деформации лишь через характеристики ее внутренней геометрии), формулировка для склерономных материалов.

      5.     Связь изотропии по Ильюшину и общей изотропии. Теорема о размерности образа процесса. Физические процессы и физические векторы. Теорема об изоморфизме свойств изотропии по Ильюшину в пространствах различных физических векторов.

      6.     Экспериментальное подтверждение постулата изотропии в опытах с тонкостенными трубчатыми образцами. Испытательные машины сложного нагружения (СН) с кинематическим, силовым и смешанным контролем. Трехпараметрические процессы сложного нагружения, их изображение в пятимерном пространстве (примеры).

      7.     Свойство запаздывания и принцип запаздывания. Следствия для отрезков пятимерных траекторий пониженной размерности и для траекторий малой кривизны. Общие совместные следствия постулата изотропии и принципа запаздывания для частных классов процессов: простых процессов (активных и переменного нагружения), процессов малой кривизны, средней кривизны, процессов с точкой излома, двухзвенных процессов. Физическая достоверность определяющих соотношений, экспериментальное подтверждение.

      8.     Общие дополнительные гипотезы о закономерностях сложного упругопластического нагружения: гипотеза локальной определенности, гипотеза компланарности. Локальная теория упругопластических процессов Ленского.

      9.     Модели пластического течения: основные понятия и положения (аксиомы). Общая структура определяющих соотношений.

      10.  Поверхности текучести в пространствах деформаций и напряжений, линейность их связи. Свойства начальных и мгновенных поверхностей текучести. Поверхности (условия) текучести Треска и Мизеса, их изображение в пространстве главных напряжений и в пятимерном пространстве напряжений.

      11.  Постулат пластичности. Выпуклость поверхности текучести и закон градиентальности. Случаи отсутствия деформационной анизотропии, отсутствия анизотропии и объемной пластичности. Постулат Дракера как специальное предположение в рамках постулата пластичности.

      12.  Ассоциированный закон течения. Гипотезы упрочнения. Простейшие теории пластического течения: теория упруго-идеальнопластического тела Прандтля—Рейсса, модели изотропного и кинематического (трансляционного) упрочнения. Дальнейшие упрощения: теория жестко-идеальнопластического тела (теория Сен—Венана), сопоставление с теорией пластичности малой кривизны. Дополнительный учет вязких свойств (реономность): теория жестко-вязкопластического тела Шведова—Бингама—Ильюшина.

      13.  Общая постановка краевых задач пластичности для изотермических квазистатических процессов при малых деформациях. Вариационные подходы, принцип виртуальных мощностей (работ). Корректность краевых задач и физическая достоверность решений. Метод корректирующего анализа.

      14.  Метод СН—ЭВМ. О сходимости метода и физической достоверности решений. Пример применения метода к одномерной задаче статики о растяжении стержня под действием собственного веса.

      15.  Соотношения теории малых упругопластических деформаций, учет несжимаемости. Начально- и инфинитезимально-упругие тела. Функция упрочнения и функция Ильюшина. Условия Ильюшина (слабое, строгое и сильное): неразупрочняющиеся, строго и сильно упрочняющиеся материалы. Примеры законов упрочнения (линейное и степенное упрочнение). Соотношения при упругой разгрузке. Учет несжимаемости. Теорема об изоморфизме простейших теорий пластичности и теории малых упругопластических деформаций в случае простой (активной) деформации.

      16.  Краевые задачи теории малых упругопластических деформаций (квазистатика). Теорема о простом нагружении. Теорема о разгрузке. Постановки задач для отдельных моментов процесса, задач статики упругопластических тел, физическая достоверность.

      17.  Монотонность связи напряжений и деформаций в теории малых упругопластических деформаций, и условия Ильюшина. Теорема о единственности решения краевой задачи для строго упрочняющихся материалов (строгого условия Ильюшина).

      18.  Потенциальность связи напряжений и деформаций, удельный потенциал и удельная работа напряжений. Удельный потенциал напряжений (внутренних сил) в теории малых упругопластических деформаций (активные процессы), отличие от удельной запасенной потенциальной энергии частицы тела. Свойства выпуклости удельного потенциала и условия Ильюшина. Полные потенциалы внешних, внутренних сил и системы. Вариационный принцип Лагранжа (теорема о стационарности и минимуме полного потенциала системы).

      19.  Метод упругих решений Ильюшина. Модификации метода: метод переменных параметров упругости, метод приведенного модуля сдвига, метод однородных линейных приближений в задачах для неоднородных упругопластических тел, в несвязанных задачах пластичности с учетом воздействия полей немеханической природы (терморадиационных, химических и др.).

      20.  Понятие обобщенных решений краевых задач. Схема построения обобщенной постановки краевой задачи теории малых упругопластических деформаций в виде операторного уравнения в “энергетическом” гильбертовом пространстве (функций Соболева).

      21.  Упругопластические свойства материала и математические свойства основного оператора краевой задачи, условия Ильюшина и монотонность оператора. О существовании обобщенного решения краевой задачи и сходимости метода упругих решений при выполнении сильных условий Ильюшина.

      22.  Примеры задач теории малых упругопластических деформаций: кручение стержня круглого сечения, деформация толстостенной трубы под действием внутреннего и внешнего давления (активная деформация, разгрузка, остаточные напряжения).

      23.  Задачи теории жестко-идеальнопластического течения (теории Сен—Венана). Определяющие соотношения теории, допущение о разрывных течениях, формулировка краевой задачи (в скоростях).

      Литература

      1.     Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.1. Упругопластические деформации. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

      2.     Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

      3.     Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

      4.     Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. Переизд.: М.: Наука, 1969.

      5.     Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.

      6.     Ленский В.С. Введение в теорию пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та. Вып. 1. 1967. Вып. 2. 1968.

      7.     Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981.

      8.     Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981.

      9.     Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

      10.  Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.

      11.  Журнальные статьи.

      Дополнительная литература

      1.     Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

      2.     Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.-Л.: Гостехиздат, 1952.

      3.     Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. Переизд.: М.: 1962; М.: 1988.

      4.     Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965.

      5.     Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.

      6.     Дьяконов Е.Г. Энергетические пространства и их применения. М.: Изд. отдел ф-та ВМК МГУ, 2001.

       

    Спецкурс "Динамические задачи теории упругости и пластичности" (для студентов 4-го курса)

    • Читает: проф. Молодцов И.Н.
    • Даны постановки основных задач динамической теории упругости и приведены фундаментальные эксперименты по определению динамических свойств материалов (в области упругости и пластичности). Рассмотрены волны неограниченной упругой среды и фундаментальные решения. Представлены методы решения динамических задач теории упругости и решения конкретных задач. Рассматриваются одномерные задачи распространения упругопластических волн.
    • Литература.
      1. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ ГКТП СССР, 1935.
      2. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959.
      3. Hudson J.A. The excitation and propogation of elastic waves. Cambridge: 1980.
  7. Спецкурс "Термовязкопластичность в технологических процессах" (для студентов 4-го курса)
    • Читает: д.ф.-м.н. Леонова Э.А.

    •             1.Структура и физико-механические свойства материалов. Структурные и фазовые превращения. Свойства жидких металлов. Свойства металлов в гетерогенном состоянии. Экспериментальные методы изучения свойств. Литое и деформированное состояния твердых металлов. Основные методы экспериментального изучения.  Зависимость физических и технологических характеристик от внешних воздействий. Сверхпластичность.

      2. Современные технологические процессы. Традиционные и новые способы литья. Способы обработки металлов давлением. Другие материалы и процессы. Основные гипотезы при математическом описании и их соответствие реальным материалам в технологических процессах.

      3. Замкнутая система уравнений термовязкопластичности. Аналитическое представление экспериментальных функций в определяющих соотношениях. Типы граничных условий Критерии подобия Моделирование. Общие теоремы. Основные методы решения Экстремальные и вариационные принципы.

      4. Краевые задачи обработки металлов давлением. Граничные условия Условие Кулона. Условие Прандтля. Краевые задачи течения идеальной жесткопластической среды. Сжатие полосы параллельными жесткими плитами. . Выдавливание через клиновидную матрицу. Течение через сходящийся канал Волочение листа. Волочение трубы через коническую матрицу. Анализ пластичности и разрушения металла при обработке давлением.

      5. Течение тонкого слоя по жестким поверхностям. Течение по деформируемым поверхностям. Течение с теплообменом. Задача о сжатии тонкого слоя жесткими плитами. Аналогия с песчаной насыпью.

      6.Особенности течения вязкопластической среды. Жесткие зоны. Условия на границах жестких зон. Краевые задачи. Точные решения для сред с неполной информацией о реологических свойствах. Вискозиметрические течения. Неизотермические течения в процессах литья. Математические задачи нефтепромысловой механики

      7. Температурные поля и напряженно-деформированное состояние затвердевающей отливки. Условия на поверхности затвердевания. Малые деформации нарастающего затвердевшего слоя. Напряженно-деформированное состояние тонкого слоя, затвердевающего на охлаждаемой поверхности. Затвердевание непрерывного слитка.

       

    • Литература: 

      1.Технология металлов и других конструкционных материалов ( под ред. поф. Г.А.Глазова и К.М.Скобникова ) Л.: Машиностроение.1972.

      2 Ильюшин А.А. Пластичность. Изд-во АН СССР. 1963.

      3 Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластического течения. // Изв. АН СССР ОТН. 1958.№ 2. С. 64-86.

      4.Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979.

      5.Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ИЛ, 1956.

      6.Кийко И.А. Теория пластического течения. М.: Изд-во МГУ, 1978.

      7.Теория пластической деформации металлов. 

      ( Е.П.Унксов, У.Джонсон и др.) М.:Машиностроение,1983

      8.Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1986.

      9.Гун Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением. М.: Металлургия.1980.

      10.Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластичных сред. М. 1977.

      11.Ильюшин А.А. Моделирование горячих и скоростных процессов обработки металлов давлением. // ПММ.1952. Т.16, вып.4. С. 385-389.

      12.Ильюшин А.А., Вопросы течения пластического вещества по поверхностям. // ПММ         1954. Т.18,вып.3. С.265-288.

      13.Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения.//ПММ 1955. Т.19, вып.6 С. 693-713.

      14.Ильюшин А.А.,.Поздеев А.А., Тарновский И.Я., Тарновский В.И. Метод гидродинамических приближений в задачах пластического течения. //Инженерный журнал. 1961. Т.1, вып. 4. С. 59-67.

      15.Леонова Э.А. Механические свойства металлов в окрестности температуры кристаллизации. // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вып. !. С. 221-251.

      16.Леонова Э.А. Напряженно-деформированное состояние тонкого слоя, затвердевающего из расплава на охлаждаемой поверхности.// Вестн. МГУ. Сер.1 Математика. Механика.1994. № 4. С. 64-67.

      .

  8. Спецкурс "Аэроупругость" (для студентов 4-5 курсов)
    • Читает: проф. Кийко И.А.

    • 10. Закон плоских сечений в сверхзвуковой аэромеханике; его следствия.

      20. Постановка задачи панельного флаттера.

      1)     Пластина в плоскопараллельном потоке.

      2)     Плоская оболочка в сверхзвуковом потоке.

      30. Панельный флаттер пластин.

      1)     Сведение к задаче на собственные значения.

      2)     Общие свойства собственных значений.

      3)     Формулировка задачи об определении критической скорости флаттера.

      40. Конкретные задачи о флаттере пластин

      1)     Бесконечная полоса

      2)     Прямоугольная пластина.

      3)     Пластина произвольной формы в плане.

      4)     Ортотропная пластина.

      5)     Пластина переменной толщины; оптимизация.

      50. Флаттер пластины и пологой оболочки как элементов обшивки сверхзвукового летательного аппарата.

      1)     Пластина

      2)     Пологая осесимметричная оболочка.

  9. Спецкурс "Устойчивость тонкостенных пластин и оболочек" (для студентов 3-5 курсов)
    • Читает: проф. Быков Д.Л.

      1.                 Введение. Примеры потери устойчивости и тонкостенных стержней, пластин и оболочек. Неоднозначность решений в закритической области. Понятие о верхних и нижних критических нагрузках.

      2.                 Сочетание изгиба с растяжением или сжатием пластинок. Сведения из линейной теории изгиба и растяжения пластин и оболочек. Уравнение Софи Жермен. Вывод уравнений изгиба прямоугольных пластин с учетом усилий, действующих в ее плоскости.

      3.                 Выпучивание свободно опертых прямоугольных пластин, равномерно сжатых в одном направлении. Шарнирное опирание краев пластины. Представление изгиба в форме, удовлетворяющей граничным условиям. Вывод выражения для сжимающего усилия и его упрощение с целью минимизации критической нагрузки. Анализ полученных результатов.

      4.                 Выпучивание свободно опертых прямоугольных пластинок, сжатых в двух перпендикулярных направлениях. Различные сочетания сжимающих нагрузок. Определение критических напряжений при разных соотношениях сторон пластинок.

      5.                 Выпучивание равномерно сжатых прямоугольных пластинок, свободно опертых по двум противоположным сторонам, перпендикулярным к направлению сжатия, и имеющих различные концевые условия по двум сторонам. Приведение уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению. Различные варианты граничных условий и примеры их практической реализации. Табличное представление решений для конкретных заданий физических и геометрических характеристик пластин. Случаи упругой заделки краев пластин.

      6.                 Выпучивание свободно опертой прямоугольной пластинки при комбинированном действии изгиба и сжатия. Решение энергетическим методом. Выражения для энергии изгиба и энергии растяжения-сжатия и сдвига пластины. Процедура решения энергетическим методом. Использование последовательных приближений.

      7.                 Вывод формул для выражений энергии деформации  при изгибе и при растяжении, сжатии и сдвиге пластин.  Частные случаи нагружения. Обоснование энергетического метода.

      8.                 Выпучивание цилиндрической оболочки  под действием  осевого давления. Шарнирное опирание. Представление перемещений оболочки. Зависимость осевой  сжимающей силы от параметров выпученной оболочки. Осесимметричный случай потери устойчивости. Условия, при которых критическое напряжение не зависит   от длины оболочки. Случай коротких оболочек. Дополнение: деформация элемента оболочки.

      9.                 Выпучивание цилиндрической оболочки под действием равномерного внешнего давления. Уравнение Мизеса. Случай длинной цилиндрической оболочки. Критическое давление для кольца. Случай трехшарнирного кольца. Приближенное решение для трехшарнирной цилиндрической оболочки конечной длины, полученное асимптотическим методом. Сравнение приближенного решения  с данными экспериментов. Расчет по формуле П.Ф.Папковича. Асимптотическое решение для двухшарнирной цилиндрической оболочки конечной длины.

      10.            Выпучивание равномерно сжатых сферических оболочек. Осесимметричная форма  потери устойчивости. Использование полиномов Лежандра для выражения прогибов и перемещений оболочек в закритическом состоянии. Аналитическое решение задачи устойчивости, полученное после упрощения исходных уравнений.

      11.            Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек при внешнем давлении. Исследование закритического состояния методом Бубнова-Галеркина. Решение геометрически нелинейной задачи в первом приближении. Параметрический анализ численного решения.

      12.            Осесимметричная  потеря устойчивости защемленной пологой сферической оболочки при   внешнем давлении. Исследование закритического  состояния с помощью  степенных рядов.

      Литература

      1. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. ГИТ-ТЛ. М.,1955. 567 с.

      2. Вольмир А.С. Устойчивость   упругих систем. ГИФ-МЛ. М., 19963. 879 с.

      3. Динник А.Н. Устойчивость арок. М., 1946

      4. Быков Д.Л. Конспект лекций по устойчивости пластин и оболочек. 2000, Каф.теории упругости МГУ.

    Спецкурс "Экспериментальная пластичность" (для студентов 4-го курса)

    • Читает: проф. Васин Р.А.

      Роль эксперимента в построении адекватных определяющих соотношений.

               Основные виды и типы экспериментов по исследованию механических свойств материалов. Характерные упругопластические свойства материалов, наблюдаемые в одноосных экспериментах.

               Математическая теория пластичности и неупругое поведение различных материалов; временные эффекты.

               Теория эксперимента (методики «расшифровки» напряженно-деформированного состояния в испытываемых образцах): 1) нагружение тонкостенного трубчатого образца осевой силой, внутренним давлением, крутящим моментом; 2) кручение сплошного или толстостенного трубчатого образца;        3) нагружение осевой   силой и крутящим моментом или осевой силой и внутренним (внешним) давлением толстостенного трубчатого образца; 4) метод виртуальной трубки (условная   трубка; «вырожденная» трубка) в экспериментах со сплошными цилиндрическими образцами.

               Экспериментальные основы теории течения (методики построения поверхности текучести, экспериментальные данные о начальной и последующих поверхностях текучести, зависимость формы и размеров поверхности текучести от величины допуска на пластическую деформацию; методики проверки и экспериментальные данные о выполнении принципа градиентальности; экспериментальные данные о деформационной анизотропии; роль временных эффектов при исследовании гипотез теории течения).

               Экспериментальные основы теории упругопластических процессов (методики и результаты экспериментальной проверки постулата изотропии; методики и экспериментальные данные по исследованию а) запаздывания векторных свойств, б) гипотезы компланарности). Свойства функционалов пластичности на траекториях деформаций малой кривизны; средней кривизны; в виде двузвенных ломаных; с постоянной или периодически изменяющейся кривизной.

               Результаты сопоставления расчетов  по некоторым вариантам определяющих соотношений с экспериментальными данными.

               Численно-экспериментальный метод СН-ЭВМ решения краевых задач теории пластичности.

      Литература.
      1. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых тел. Ч. 1. М.: Наука, 1984.
      2. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений. Справ. пособие под ред. Б.С.Касаткина. Киев: Наукова думка, 1981.
      3. Бабамуратов К.Ш., Ильюшин А.А., Кабулов В.К. Метод СН-ЭВМ и его приложения к задачам теории пластичности. Ташкент: ФАН, 1987.

       

  10. Спецкурс "Методы теории упругости" (для студентов 4-го курса)
    • Читает: ст.н.с.  Шмаков А.П.

      1. Постановка краевых задач теории упругости в перемещениях и напряжениях. Тензор фундаментальных решений Кельвина. Теорема Бетти о взаимности работ. Формулы Сомильяны и их обобщение.  Тензоры фундаментальных решений Грина. Потенциалы теории упругости и их граничные свойства. Приведение основных граничных задач теории упругости к интегральным уравнениям.

      Литература  

      1.В.Новацкий, Теория упругости , М., 1975, с. 113- 120 ; с.204 -208; с.137-152.

      2.В.Д.Купрадзе , Методы потенциала в теории упругости, М., 1963, с.35-42; с.49-58; с.175-183.

      2. Представление решения в форме Папковича - Нейбера. Распределение напряжений вокруг шаровой полости в неограниченной среде, находящейся под действием однородного поля напряжений на бесконечности. Деформация полого шара от собственного веса.

         Литература 

      1. В. Новацкий, Теория упругости, М., 1975, с. 184-187.

      2. С.П.Тимошенко, Дж. Гудьер, Теория упругости, М.с. 398-400.

       

      3. Представление решения в форме Альманси - Треффтца. Равновесие шара под действием поверхностных сил или заданных перемещений его поверхности.

        Литература  

      А.И.Лурье, Теория упругости, М., 1970, с. 247-250; с. 254-259.

      4. Первый и второй тензоры Грина для полупространства. Задачи Буссинеска и Черрути. Вдавливание абсолютно жесткого штампа в упругое полупространство. Равновесие конических тел, нагруженных в вершине.

      Литература: 

      1. А.А.Ильюшин, В.А.Ломакин, А.П.Шмаков, Задачи и упражнения по механике сплошной среды, Изд-во МГУ, 1979, Задачи 5.1; 5.2; 5.3 и 5.5, с. 35 и их решения, с. 128-132; с. 136

      2. А. Ляв, Математическая теория упругости, М., 1935, с. 211-214.

      5. Условия на границе раздела упругих сред с различными механическими свойствами. Определение компонент тензора напряжений на границе раздела с одной стороны по их значениям с другой. Задачи для тел с включениями. Эллипсоидальное включение в неограниченной среде.

      Литература

      Дж. Эшелби, Континуальная теория дислокаций, М., 1963, с. 103-153.

      6. Метод вариации коэффициента Пуассона. Распределение напряжений в полом круговом цилиндре  со свободными торцами при действии постоянного внутреннего давления. Метод интегрирования Э. и Ф. Коссера.

      Литература 

      1. R.J. Knops, On the variation of Poisson`s ratic in the solution of elastic problems. «Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1958, v. 11, N 3, p. 326-350

      2. А. Ляв, Математическая теория упругости, М., 1935, с. 278-279.

      7. Плоские задачи теории упругости: плоская деформация, плоское напряженное состояние, обобщенное плоское напряженное состояние. Деформация трубы со свободными торцами под действием линейно меняющегося внутреннего давления. Функция напряжений. Представление перемещений и напряжений через две аналитические функции комплексного переменного. Растяжение пластинки с эллиптическим отверстием.

      Литература:

        Н.И.Мусхелишвили, Некоторые основные задачи математической теории упругости, М., 1966, с. 87-156.

      8. Задача Сен-Венана о растяжении, кручении и изгибе брусьев. Принцип Сен-Венана. Однородные решения.

      Литература:

      Н.И.Мусхелишвили, Некоторые основные задачи математической теории упругости, М., 1966, с. 492-521.                         

  11. Спецкурс "Пластичность при переменных нагружениях" (для студентов 4-го курса)
    • Читает: доц. Кеппен И.В.

               Свойства материалов при многократных нагружениях. Основные гипотезы. Уравнения теории малых упругопластических деформаций. Основные  уравнения  циклических нагружений. Принцип Мазинга. Теорема о простом переменном нагружении. Знакопеременное нагружение. Теорема о вторичных пластических  деформациях. Напряжения и деформации при многократных нагружениях. Предельные состояния циклически упрочняющихся тел. Циклический изгиб прямого бруса. Правка изогнутого бруса. Вторичные пластические деформации в толстостенной  сферической оболочке. Термопластичность при переменных нагружениях. Малоцикловая усталость.

                         Литература

       1.     Ильюшин А.А. Пластичность. ОГИЗ, 1948, М.-Л.

      2.     Москвитин В.В. Пластичность при переменных нагружениях. Изд-во Моск. ун-та, 1965.

      3.     Москвитин В.В. Циклические  нагружения элементов конструкций, М., «Наука», 1981.

  12. Спецкурс "Численные методы в теории упругости и пластичности" (для студентов 4-го курса)
    • Читает: доц. Муравлев А.В.

      1. Вариационные методы [3,6].

      1.1. Вариационные принципы МДТТ: принцип Лагранжа, принцип Кастильяно, принцип Рейсснера.

      1.2. Метод Ритца, метод Филоненко-Бородича, метод Галеркина - Петрова (метод взвешенных невязок), метод Бубнова - Галеркина, метод наискорейшего спуска.

      1.3. Метод R-функций Рвачева.

      2. Вариационно-разностный метод [6].

      3. Метод конечного элемента (МКЭ) [2,4,5,7].

      3.1. Общая схема МКЭ. Формулировки МКЭ: вариационная (метод перемещений), метод взвешенных невязок, метод Галеркина, метод коллокаций, метод наименьших квадратов.

      3.2. Разбиение области на элементы.

      3.3. Типы конечных элементов, их свойства. Эрмитовы элементы.

      Конденсация.

      3.4. Функции формы элемента. Некоторые семейства этих функций

      3.5. Преобразование из локальных координат в глобальные. Построение локальных и глобальной матриц жесткости.

      3.6. Криволинейные изопараметрические элементы и численное интегрирование.

      3.7. Вычисление результантов элемента.

      3.8. Сходимость МКЭ.

      4. Методы решения систем линейных уравнений [1,2,4-8].

      4.1. Прямые методы: метод Гаусса, разложение Холецкого, метод тройной факторизации, метод быстрого преобразования Фурье.

      4.2. Итерационные методы: метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя, метод последовательной верхней релаксации, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов.

      5. Физически нелинейные задачи. Пластичность [2,3].

      5.1. Метод переменной жесткости, метод начальных деформаций.

      5.2. Метод упругих решений.

      ЛИТЕРАТУРА

      1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков  Г.Н.  Численные  методы,

      1987.

      2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике, 1975.

      3. Ильюшин А.А. Пластичность, 1948.

      4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математки, 1989.

      5. Норри Д., Ж.де Фриз Введение в метод конечных элементов, 1981.

      6. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности, 1981.

      7. Сегерлинд С. Применение метода конечных элементов, 1979.

      8. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы, 1986.

  13. Спецкурс "Прочность конструкций из наполненных полимерных материалов" (для студентов 4-5 курсов)
    1. Читает: проф. Быков Д.Л.

      1.     Введение. Полимерные материалы и их механические свойства. Опыты на ползучесть и релаксацию. Влияние температуры на характеристики материалов. Соотношения прочности и веса в полимерных и металлических материалах.

      2.     Прочность конструкций из наполненных полимерных материалов. Математическая модель деформирования наполненных   полимерных материалов. Модели Максвелла и Фойхта (Кельвина). Обобщенная модель Максвелла. Линейная теория Больцмана—Вольтерра.

      3.     Нелинейная эндохронная теория вязкости. Нелинейная эндохронная теория стареющих материалов. Функции старения.

      4.     Структура удельной работы внутренних сил. Удельная упругая (мгновенно обратимая) энергия. Вязкоупругая (замедленно обратимая) удельная энергия. Удельная рассеянная (необратимая) энергия. Двойное представление составляющих удельной работы внутренних сил: через компоненты элементарных моделей Максвелла и через деформацию и характеристики вязкоупругого тела.

      5.     Критерий длительной прочности наполненных полимерных материалов. Сравнение с результатами экспериментов при различных процессах нагружения.

      6.     Использование нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов в задачах бифуркации тонких пластин и оболочек. Сравнение расчетов с данными опытов. Использование полученных решений для определения механических характеристик материалов.

      7.     Методы определения материальных функций и функционалов нелинейной эндохронной теории для стареющих и нестареющих вязкоупругих материалов. Роль иерархической структуры определяющих уравнений при идентификации указанной теории.

      8.     Методы решения квазистатических задач линейной теории термовязкоупругости:

      —  численные методы;

      —  методы, основанные  на применении теорем о простом нагружении и простом деформировании;

      —  методы, основанные на применении интегрального преобразования Лапласа—Карсона (методы аппроксимация и обобщенных аппроксимаций).

      9.     Примеры решения линейных задач  теории Больцмана—Вольтерра. Толстостенные вязкоупругие цилиндры, заключенные в тонкие упругие оболочки, и родственные им задачи.

      10. Имитация процессов накопления повреждений при длительной эксплуатации конструкций из наполненных полимерных материалов.

    2. Литература

      3. 1.     Быков Д.Л. Лекции по курсу «Прочность  полимерных конструкций». 2001.

      2.     Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука. 1970. 280 с.

      3.     Р.Кристенсен. Введение в теорию вязкоупругости. Изд. «Мир».,Москва, 1974. 338 с.

      4.     Быков Д.Л., Коновалов Д.Н. Использование функции рассеянной энергии для описания деформаций и разрушения полимерных конструкций. //Упругость и неупругостью Изд. МГУ, 2001. с.с. 250-262. Материалы Международного научного  симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного девяностолетию со дня рождения А.А.Ильюшина. Москва. 22-23 января 2001 г.

  14. Спецкурс "Математические модели теории пластичности" (для студентов 4-5 курсов и аспирантов)
    • Читает: проф. Васин Р.А.
    • В программе курса: предмет математической теории пластичности; основные понятия теории течения; постулаты пластичности и следствие из них; частные варианты теории течения и алгоритмы расчетов по ним; основные положения теории упругопластических процес сов; векторные и скалярные свойства определяющих соотношений; теории малых и средних кривизн, теория двузвенных процессов, варианты определяющих соотношений, базирующееся на гипотезе компланарности; эндохронная теория пластичности; структурные модели в те ории пластичности; феноменологические теории скольжения; феноменологические модели сверхпластичности.
    • Литература.
      1. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
      2. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990.
      3. Русинко К.Н. Теория пластичности и неустановившейся ползучести. Львов: Вища школа, 1981.
      4. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та.
  15. Спецкурс "Физические основы МДТТ" (для студентов 5-го курса)
    • Читает: проф. Кийко И.А.

               10. Введение.  Основные понятия и постулаты (феноменология) МСС: тензоры деформаций,  скоростей деформаций, напряжений; термомеханический процесс; определяющие соотношения; эксперимент в МДТТ, теория эксперимента.

               20. Линейное упругое тело. Различные определения линейного упругого тела; закон Гука, его экспериментальная проверка; задача Сен-Венана об изгибе бруса- основа инженерной теории изгиба балок.

               30. «Малая» неупругость.

               а) малые упругопластические деформации;

               б) линейная вязкоупругость;

      а) Теория малых упругопластических деформаций; теоремы о простом нагружении и разгрузке; экспериментальное обеспечение теории; задача об изгибе бруса, оптимизация формы; пластичность при сложных нагружениях; постулат изотропии, принцип запаздывания; теория Р-М-р- опытов.

      б) Линейная вязкоупругость; ядра ползучести и релаксации, их экспериментальное определение, простейшие модели вязкоупругих материалов.

               40. Процессы развитого формоизменения.

                   а) вязкопластические течения;

                   б) ползучесть;

                   в) деформация в состоянии сверхпластичности.

      а) Вязкопластическое тело; качественный анализ свойств вязкопластических течений; задача Прандтля об осадке полосы – изотермический случай; задача об осадке в условиях теплообмена.

      б) Свойства материалов при повышенных температурах; одномерная ползучесть; обзор уравнений состояния.

      в) Состояние сверхпластичности; роль параметров структуры; возможные подходы к построению определяющих соотношений.

  16. Спецкурс "Механика сверхпластичности и технологические приложения" (для студентов 3-5 курсов)
    • Читает: проф.Васин Р.А.

      I. Общие сведения.

      1.     Общие сведения о явлении сверхпластичности (СП). Некоторые факты из истории исследований явления СП. Эксперименты Треска.

      2.     Структурная СП. Температурно-скоростные условия реализации процесса сверхпластического деформирования (СПД). Основные механизмы СПД.

      3.     Стандартные виды испытаний материалов в режиме СП; специфика проведения  испытаний при высоких температурах. Характерные особенности механического поведения материалов при СПД.

      4.     Феноменология СП:

      1) скоростная      чувствительность материалов; методы ее описания;

      2) сигмоидальная кривая СП;

      3) «падающая» диаграмма;

      4) зависимость механических свойств от температуры; параметр Зинера —   Холломона (температурно-скомпенсированная скорость деформации).

      5.     Энергия активизации; методы ее экспериментального определения.

      6.     Эволюция структуры при термомеханическом воздействии на поликристаллический материал. Универсальные эмпирические соотношения СП: зависимости параметра Зинера—Холломона и напряжения течения от размера зерна.

      II. Определяюшие соотношения

      7.     Общие требования к определяющим соотношения (ОС). Особенности поведения материалов при деформировании в режиме СП, которые должны быть учтены в ОС. Стандартное степенное соотношение СП и его идентификация; некоторые варианты его обобщения.

      8.     Понятие об ОС вязких жидкостей и твердых деформируемых тел. Пороговое напряжение. Структурно-механические модели (упругий, линейно— и нелинейно-вязкий,  пластический элементы; их характерные комбинации).

      9.     Модели, предствляющие комбинации нелинейно-вязких элементов:

      а)  последовательное соединение элементов (описание вкладов различных механизмов деформирования в общую деформацию);

      б) параллельное соединение;

      в) возможность описания сигмоидальной кривой СП.

      10. Классические и обобщенные (с нелинейно-вязким элементом) модели Максвелла и Фойгта, типичные кривые ползучести и релаксации.

      11.  ОС  классической теории ползучести (теория течения, теория упрочнения). ОС СП как частные случаи теории ползучести. Классификация ОС по признаку описания сигмоидальной кривой СП. Модель О.М.Смирнова.

      12.  Учет характеристик структуры материала в ОС СП. Понятие об ОС с внутренними переменными. Физические ОС СП (Гамильтона; Гоша; Падманабхана — Шлипфа и др.).

      III. Идентификация ОС

      13. Общие требования к методикам идентификации ОС. Методики идентификации степенного ОС при наличии порогового напряжения. Методика определения параметров точки перегиба сигмоидальной кривой СП.

      14.  Идентификация ОС в технологическом эксперименте. Идентификация стандартного степенного ОС в эксперименте.

      IY. Использование явления СП в технологических процессах

      15. Преимущества использования явления СП в технологиях обработки металлов давлением. Изотермическая  объемная штамповка. Технологические процессы СПД/ДС (сверхпластическое деформирование и диффузионная сварка).

      16.  Особенности постановки краевой задачи механики СП применительно к обработке металлов  давлением.

       ЛИТЕРАТУРА

       1.           Грабский М.В. Структурная сверхпластичность металлов. М.: Металлургия, 1975. 272 с.

      2.           Кайбышев О.А. Сверхпластичность промышленных сплавов. М.: Металлургия, 1984. 264 с.

      3.           Смирнов О.М. Обработка металлов давлением в состоянии сверхпластичности. М.: Машиностроение, 1979. 184 с.

      4.           Пуарье Ж.П. Высокотемпературная пластичность кристаллических тел. М.: Металлургия, 1982. 272 с.

      5.           Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности. Ч.1. Уфа, Гилем. 1998. 278 с.

      6.           Васин Р.А., Еникеев Ф.У., Кркглов А.А., Сафиуллин Р.В. Об идентификации определяющих соотношений по результатам технологических экспериментов. Изв. РАН. Механика твердого тела, 2003, № 2, с. 111—123.

      7.           Ермаченко А.Г., Караваева М.В. Использование эффекта   сверхпластичности для получения оптимальных свойств крупногабаритных  деталей из двухфазных титановых сплавов. —  Металловедение и термическая обработка металлов, 1999, № 2, с.36—39.

      8.           Васин Р.А., Кийко И.А. О постановке начально-краевой задачи сверхпластичности. — Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2004. № 1, с. 58—62.

  17. Курс "Динамика пластин и оболочек" (для студентов  4 курса)
    • Читает: проф. Кийко И.А. и доц. Мартынова Е.Д.

      1.      Изгиб пластин. Классическая линейная теория оболочки и пластины, определения. Гипотезы Кирхгофа—Лява. Выражения для деформаций, в случае пластин, кривизна и кручение срединной поверхности. Вектора усилий и моментов. Вывод уравнений равновесия пластины из принципа возможных перемещений Лагранжа. Возможные виды граничных условий. Обобщенная перерезывающая  сила Кирхгофа. Разделение задачи о деформировании пластины на задачи изгиба и деформирования в ее плоскости. Уравнение С.Жермен —Лагранжа. Принцип минимума полной потенциальной энергии. Метод Ритца. Метод Бубнова—Галеркина. Примеры: изгиб прямоугольных и круглых пластин, оценки прогиба и напряжений.

      2.      Колебания пластин. Уравнения колебаний. Собственные поперечные колебания. Собственные формы колебаний, собственные частоты, спектр, частота основного тона. Пример: собственные частоты и собственные формы колебаний прямоугольной шарнирноопертой пластины. Вариационный принцип Гамильтона в динамических задачах теории упругости. Уравнения движения Лагранжа 2 рода для упругого тела. Уравнения колебаний   пластины, записанное в обобщенных координатах. Метод Рэлея. Метод Ритца и метод Бубнова—Галеркина для отыскания собственных частот и собственных форм колебаний пластин. Сходимость  найденных приближенных решений к точным значениям. Пример   применения приближенного метода отыскания частоты основного тона.

      3.      Пластины переменной толщины. Уравнения изгиба и колебаний. Собственные колебания, спектральная задача. Метод Бубнова—Галеркина. Задачи оптимизации для пластин переменной толщины: оптимизация по собственным частотам; пластины максимальной жесткости.

      4.      Цилиндрическая оболочка. Уравнения изгиба и колебаний круговой цилиндрической оболочки в осесимметричном случае. Краевой эффект и безмоментное напряженное состояние.

       Литература.

      1. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ. М.—Л., 1935.
      2. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л. . Судпромгиз, 1951.
      3. Строительная механика летательных аппаратов. Под ред. И.Ф.Образцова. М., Машиностроение, 1986.
      4. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М., Мир, 1987.
      5. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Л., Изд-во ЛГУ, 1962.
      6. Тимошенко С.П., Войсовский-Кригер С. Пластины и оболочки. М., ГИФМЛ, 1963.
      7. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.
      8. Огибалов П.М.,  Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М., Изд-во МГУ, 1969.
      9. Михлин М. Вариационные методы  в математической физике. М.,  Наука, 1970.
      10. Филин А.П. Элементы теории  оболочек. Л., Стройиздат, 1987.
      11. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. Физматгиз. 1959.
      12. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М. Наука, 1986.
      13.  Бисплингхофф Р. и др. Аэроупругость. М. ИИЛ, 1958.
      14. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М. Наука, 1980.
Спецкурс "Задачи теории упругости неоднородных тел" (для студентов 4 курса)
  • Читает: доц. Мартынова Е.Д.

    1.     Постановки краевых задач  теории упругости  неоднородных тел. Плоское деформированное состояние, плоское напряженное состояние, обобщенное плоское напряженное состояние. Функция напряжений.

    2.     Метод возмущений. Оценка погрешности получаемого решения.

    3.     Методы ТФКП в плоской задаче теории упругости неоднородных тел. Уравнения для функции напряжения и комплексного перемещения. Метод конформных преобразований. Метод последовательных приближений. Пример: растяжение неоднородной круглой пластинки равномерно распределенной по ее контуру силой.

    4.     Обратные методы в задачах теории упругости неоднородных тел. Постановки обратных задач. Примеры решения обратных задач в предположении, что коэффициент Пуассона равен константе.

    5.     Плоская задача для тел с быстро осциллирующими упругими свойствами. Построение решения типа погранслоя.

    6.     Плоские задачи в полярных координатах. Задача о силе, приложенной в вершине неоднородного клина.

    7.     Задача Сен-Венана для неоднородного изотропного бруса. Кручение неоднородного бруса. Функции напряжения и кручения. Случай многосвязного поперечного сечения. Растяжение и изгиб неоднородного изотропного бруса. Растяжение и изгиб моментами. Изгиб поперечными силами.

    8.     Метод интегральных уравнений в задачах теории упругости неоднородных тел.

    9.     Равновесие бесконечной пластинки со вставленной   шайбой из другого материала.

    10. Метод блоков. Матрица влияния Ильюшина.

      Литература

    1.     В. А. Ломакин. Теория упругости неоднородных тел. Изд-во МГУ. 1976.

    2.     Н. И. Мусхелишвили. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., Наука, 1966. 

     

Спецкурс "Теория пластических течений" (для студентов 4-5 курсов)

  • Читает: проф. Кийко И.А.

    10. Определяющие соотношения для процессов развитого формоизменения.

    1)Векторные свойства - закон течения Сен-Венана.

             2) Скалярные свойства; влияние температуры и скорости деформации.

    20. Постановка начально-краевых задач и методы исследования.

    1)     Основная система уравнений.

    2)     Условия на поверхности контакта.

    3)     Неизотермические процессы.

    4)     Деформации инструмента.

    5)     Критерии подобия и моделирование.

    30. Исчерпание запаса пластичности (разрушение).

    1)     Простейшие скалярные теории.

    2)     Тензорно -линейная теория.

    3)     Тензорно - нелинейная теория.

    40. Течение в тонких слоях.

    1)     Задача Л. Прандтля и ее следствия.

    2)     Система уравнений.

    3)     Учет деформаций инструмента.

    4)     Вариационная постановка задачи и методы исследования.

    5)     Задача о растекании плоского тонкого слоя.

     

Спецкурс "Группы преобразований в механике сплошных сред"(для студентов 4-5 курсов)

  • Читает: д.ф.-м.н. Леонова Э.А.

     1. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений.

Группы преобразований. Инфинитезимальные преобразования. Локальная группа Ли. Алгебра Ли инфинитезимальных операторов. Инварианты и инвариантные многообразия. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Групповая классификация. Инвариантно- групповые решения. Группы  Ли – Беклунда.

     2. Основные соотношения механики сплошной среды и группы преобразований.

Система постулатов механики континуума и группа Галилея – Ньютона. Законы сохранения. Теория размерности и подобия. Максимальные группы преобразований замкнутых систем уравнений классических сред.

     3. Фундаментальные решения уравнений термомеханики как инвариантные решения.

Решения, инвариантные относительно подгрупп максимальной группы. Существенно различные решения. Решения, инвариантные относительно подгруппы вращений. Автомодельные решения. Другие инвариантные и частично инвариантные решения. Примеры из гидромеханики, газовой динамики, теплопроводности.

     4. Инвариантные свойства уравнений теории термоупругости.

Максимальная группа преобразований. Классы инвариантных решений. Специальные системы  координат. Информация для полуобратных методов. Классы функций для представления вешних нагрузок. Точные решения, полученные полуобратными методами.

     5. Инвариантные свойства уравнений термовязкопластичности.

Группа преобразований уравнений термовязкопластичности с неполной информацией об определяющих соотношениях. Динамические уравнения. Квазистатические уравнения. Специализации. Класс скалярных функций для определяющих соотношений. Точные решения с произволом в задании реологических свойств. Классы инвариантных решений. Специальные системы координат. Информация для полуобратных методов. Групповые свойства уравнений теплопроводности. идеальной пластичности, нелинейной вязкой жидкости, линейной и нелинейных вязкопластических сред .

      Литература 

1.      Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.-Л. ГИТТЛ. 1940.

2.      Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.

3.      Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983.

4.      Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука. 1970.

5.      Леонова Э.А. Инвариантные свойства уравнений термовязкопластичности с неполной информацией о свойствах среды.// Упругость и неупругость. Изд-во МГУ. 1993.

 

Спецкурс "Теория и расчет оболочек летательных аппаратов" (для студентов 3-5 курсов)

  • Читает: проф.Быков Д.Л.

                  Теория тонких оболочек.

 1.           Введение. Классификация тонкостенных конструкций. Общие гипотезы о деформировании тонких пластин и оболочек. Пределы применимости теории тонких оболочек.

2.           Некоторые сведения  из теории поверхностей. Формулы Френе. Условия Гаусса—Кодацци.

3.           Закон изменения перемещений по толщине оболочки.

4.           Деформации оболочки и деформации ее срединной поверхности.

5.           Преобразование выражений для деформаций в случае тонких оболочек и малых деформаций срединной поверхности.

6.           Соотношения неразрывности деформаций срединной поверхности.

7.           Усилия и моменты.

8.           Равновесие элемента, выделенного  из оболочки.

9.           Потенциальная энергия деформации оболочки.

10.       Соотношения между усилиями, моментами и деформациями срединной поверхности.

11.       Граничные условия задачи о напряжениях в оболочке.

12.       Случай линейного вязкоупругого материала при постоянном коэффициенте Пуассона. Сведение задач расчета вязкоупругих оболочек к расчету тонких упругих оболочек.

13.       Пример неединственного решения при расчете тонкостенных конструкций. Задача Л.Эйлера об устойчивости стержня при осевом сжатии.

 Литература

1.     Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. ГИСЛ. 1951, 344 с.

2.     Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. Изд. «Наука». М.: 1970. 280 с.

3.     Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. ГИТТЛ. Москва. 1955, 567 с.

4.     Быков Д.Л. Конспект лекций по теории тонких оболочек. Кафедра теории упругости мех.-мат. фак-та МГУ, 200 г.

 

 

Спецкурс "Определяющие соотношения сплошных сред при конечных деформациях" (для студентов 5 курса)

  • Читает: проф.Бровко Г.Л.

1. Основные приведенные формы определяющих соотношений классической механики сплошной среды

1.1.          Свойства сопротивления тел деформированию. Принципы общей теории определяющих соотношений. Макрофизичность свойств простых тел.

1.2.          Определяющие соотношения в форме У.Нолла и в форме А.А.Ильюшина. Их эквивалентность. Определяющее соотношение в форме К.Трусделла.

1.3.          Внутренние кинематические связи. Некоторые общие классы определяющих соотношений.

2. Основы классификации тел по У.Ноллу

2.1.          Материальный изоморфизм. Группы равноправности.

2.2.          Изотропные материалы.

2.3.          Твердые тела.

2.4.          Жидкости.

3. Объективные тензоры и независимые от системы отсчета отображения

3.1.          Понятия объективных тензоров и типов объективности. Материальные, пространственные и смешанные аналоги объективных тензоров. Переходные тензоры и диаграммы.

3.2.          Независимые от системы отсчета отображения и уравнения, связывающие объективные тензоры. Структура отображений и уравнений. Примеры для векторов и тензоров второго ранга.

3.3.          Отображения-индукторы и кондукторы. Полнота представления отображений, параметризованных переходными тензорами. Пакеты отображений (отображения диаграмм).

3.4.          Объективные производные и дифференциальные операторы. Объективное интегрирование.

4. Элементы обобщенной теории тензорных мер конечных деформаций и напряжений

4.1.          Основные аксиомы теории. Общая теорема для склерономных симметричных энергетически сопряженных тензорных мер.

4.2.          Простой лагранжев класс симметричных сопряженных тензорных мер конечных деформаций и напряжений.

4.3.          Семейство коротационных тензорных мер, неголономность. Теорема о параметрах процесса. Сравнение с логарифмическими мерами Генки.

4.4.          Семейство голономных тензорных мер простого лагранжева класса.

5. Основы классификации тел по А.А.Ильюшину

5.1.          Классическая схема построения пятимерного образа процесса. Понятие о пятимерной изотропии.

5.2.          Материальный образ процесса. Пространственные аналоги.

5.3.          Классы и семейства образов процесса, сравнение с известными вариантами.

5.4.          Примеры образов процесса простейших движений. Скоростной и яуманнов варианты для моделей гипоупругости при простом сдвиге.

6. Некоторые специальные вопросы

6.1.          Особенности вискозиметрических течений вязких жидкостей.

6.2.          Подходы к построению определяющих соотношений пластичности при конечных деформациях.

Литература

1.     Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

2.     Трусделл К.А. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.

3.     Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.

4.     Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.

5.     Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

6.     Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир,1965.

7.     Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978.

8.     Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

9.     Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И.  Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986.

10.  Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наукова думка. 1987.

11.  Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988.

12.  Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

13.  Журнальные статьи.

 

Спецкурс "Очаговый механизм динамической пластичности" (для студентов 4-5 курсов)

  • Читает: проф. Молодцов И.Н.
  1. Очаговый механизм пластичности. Эффект локализации пластической деформации. Очаг пластической деформации. Эмиссия волн напряжений. Динамическая калибровка определяющих уравнений одномерной модели. Ступенчатая диаграмма связи напряжений и деформаций.
  2. Волновой континуум Орована. Статистическое обоснование уравнения состояния очагового континуума. Уравнения волнового континуума Орована-Гиббса. Основное уравнение для напряжений в постановках Лагранжа и Эйлера. Классы точных решений уравнения. Физический смысл отдельных классов частных решений. Групповые свойства решений. Активизация очагов пластической деформации волнами напряжений. Эмиссия волн напряжений на разных стадиях деформации. Эффект акустического затишья. Задача деконволюции для определения функции диссипации в очаге пластической деформации на стадии развитых необратимых деформаций.  Нелокальная модель, ее свойства и механический смысл. Описание эффекта прерывистости диаграммы состояния.
  3. Динамические уравнения совместности кинематических полей. Анализ причин появления несовместности в уравнениях связи полей перемещений и скоростей. Различные формы уравнений совместности. Математическое моделирование структурных преобразований в очагах деформации. Вихревые решения уравнений совместности. Нелокальная модель очага деформации с двумя пространственными параметрами. Кинематическая процедура Чезаро в роли процедуры накопления необратимых деформаций.
  4. Определяющие уравнения модели очаговой пластичности. Анализ трехчленной формулы А.А.Ильюшина. Структура квазилинейного функционального уравнения первого порядка, связывающего векторы-девиаторы напряжений и деформаций. Четырехчленная формула и ее различные варианты. Функциональные уравнения связи напряжений и деформаций и частные формы на отдельных траекториях деформаций. Обобщения определяющих уравнений при учете слабой пространственной нелокальности свойств материала. Возможные виды определяющих уравнений второго порядка. 
  5. Термомеханика очаговой модели пластичности. Определяющие уравнения с диссипативными напряжениями. Определение и механический смысл структурной энтропии. Постановки задач в очаговой модели пластичности.

 Литература.

1.      Дж.Белл Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Т.1,2. М.: Наука, 1984.

  1. Журнальные статьи.

Спецкурс "Теория упругости структурно-неоднородных тел" (для студентов 3-4 курсов)

  • Читает: доц. Тунгускова З.Г.

I.                  Основы теории случайных полей в приложении к статистическому описанию полей напряжений, деформаций и перемещений. Постановка статистических задач теории упругости в моментах.

II.               Поведение упругих тел под действием случайных внешних сил. Решение задачи в случае, когда известен тензор Грина. Постановка и примеры решения  задачи в моментах.

III.            Особенности расчета на прочность при действии случайных сил. Примеры такого расчета.

IV.            Концентрация напряжений вблизи поверхности со случайными неровностями. Сведение задачи к задаче о действии случайных сил на упругое тело. Решение задачи о концентрации напряжений в случае, когда форма границы описывается быстро осциллирующей функцией координат.

V.               Некоторые вопросы механики структурно-неоднородных упругих сред. Постановка задачи о деформации микронеоднородных упругих сред. Влияние структурной неоднородности на механические свойства (разброс, масштабный эффект). Понятие эффективных модулей. Представительный объем структурно-неоднородной среды ( постановка задачи, вывод формул для  различных структур в рамках общепринятой классификации) .

VI.            Деформация тел с быстро осциллирующими упругими свойствами. Деформация тел, упругие свойства которых описываются случайными функциями координат.

 Литература

 1. Ломакин В.А. Статистические  задачи механики твердых деформируемых тел.     М., 1970.

2. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел   неоднородной структуры. М., 1984.

3. Тунгускова З.Г. О представительном объеме упругих структурно-неоднородных материалов. Упругость и неупругость. М., 1993.

 

 Спецкурс "Нелинейная теория упругости" (для студентов 3-4 курсов) (для студентов 3-4 курсов)

Читает: проф. Г.Л.Бровко

Понятие деформации по Коши. Меры деформаций Коши, Альманзи и Фингера. Тензоры деформаций Грина и Альманзи, логарифмические тензоры деформаций Генки. Наложение деформаций. Тензор истинных напряжений Коши. Тензоры условных напряжений Пиолы—Кирхгофа первого и второго рода, “энергетический” тензор напряжений Ильюшина. Уравнения баланса. Представление уравнений движения Коши через тензоры истинных и условных напряжений.

Общие теоремы и постановки краевых задач механики сплошной среды. Лагранжева постановка начально-краевой задачи при конечных деформациях, особенности задания массовых сил и силовых граничных условий. Случаи статики и квазистатики.

Общие приведенные формы определяющих соотношений сплошной среды А.А.Ильюшина и У.Нолла. Построение приведенных форм определяющих соотношений сред по заданному набору определяющих параметров: простейшая жидкость, упругое тело.

Гипоупругость. Объективные производные, интегрируемость. Неголономные и голономные меры конечных деформаций.

Упругость. Функция связи тензора напряжений и тензора деформаций в упругом теле. Естественная отсчетная конфигурация. Свойства изотропии, линейности и потенциальности функции, их сопоставление. Монотонность функции и выпуклость ее потенциала. Основные положения классической линейной теории упругости.

Математические модели нелинейно упругих тел в терминах различных тензорных мер напряжений и конечных деформаций. Изотропия. Несжимаемость. Простейшая модель Сен-Венана―Кирхгофа, потенциальность. Тело Сетха, отсутствие упругого потенциала. Модель Ломакина с тензорами Генки.

Гиперупругость. Удельный и полный потенциалы внутренних сил (напряжений). Запасенная (потенциальная) энергия гиперупругого тела. Определяющие соотношения гиперупругости. Изотропные гиперупругие тела. Несжимаемость.

Лагранжева постановка начально-краевой задачи нелинейной теории упругости. Неединственность решения задач о равновесии, примеры. Универсальные решения задач статики для гиперупругих тел без внутренних кинематических связей (при отсутствии массовых сил). Теорема Эриксена. Об универсальных решениях для несжимаемых гиперупругих тел.

Потенциальные нагрузки, «мертвые» нагрузки. Потенциальная энергия деформации и потенциальная энергия системы для гиперупругого тела. Принцип стационарности потенциальной энергии системы.

Функция запасенной энергии (потенциальной энергии деформации) вблизи естественной (недеформированной) конфигурации, асимптотика при больших деформациях. О выпуклости функции запасенной энергии и дополнительных неравенствах нелинейной теории упругости.

Модели изотропных гиперупругих тел. Материал Мурнагана. Тело Синьорини. Полулинейный («гармонического типа») материал Джона. Потенциалы Муни и Муни―Ривлина.

Простейшие задачи нелинейной теории упругости: чисто объемная деформация, одноосное растяжение, простой сдвиг. Задачи Ламе для цилиндра и сферы.

 

Спецкурс "Неклассические модели в механике сплошной среды" (для студентов 3-5 курсов)

Читает: проф. Г.Л.Бровко

Основные элементы теории классической механики сплошной среды и пути их модификации в неклассических построениях. Тела, их атрибуты. Формы взаимодействий и движений тел. Замена системы отсчета и основные законы ньютоновой механики. Большая система тел, законы инерции Ньютона, законы движения Эйлера. Основные гипотезы и законы баланса ньютоновой механики сплошных сред. Теория определяющих соотношений. Энергетическая сопряженность тензоров напряжений и деформаций. Внутренние кинематические связи, опорные силы Гаммеля. Замкнутость теории классической механики сплошной среды.

Задачи адекватного описания сред сложной микроструктуры в усложненных движениях и взаимодействиях. Возможные подходы к построению неклассических моделей сплошных сред. Принцип соответствия. Модели с дополнительными степенями свободы движений и взаимодействий. Модели гетерогенных сред. Континуум Коссера (модель без внутренних связей). Движения несущей среды (матрицы) и вращения включений. Тензоры силовых напряжений Коши и Пиолы—Кирхгофа второго рода. Тензоры моментных напряжений Коши—Коссера и Пиолы—Коссера. Уравнения движения в терминах пространственных и материальных тензоров напряжений.

Определяющие соотношения линейно упругой изотропной среды Коссера (случай малых движений). Безмоментные и несвязанные модели. Псевдоконтинуум Коссера (модель с внутренней кинематической связью совпадения вращений включений с вращениями несущей среды — случай малых движений). Определяющие соотношения. Обобщения на конечные повороты.

Примеры одномерных и плоских моделей. Модели оснащенных стержней типа Коссера. Модель продольно-крутильных движений и модель плоскопараллельных движений. Собственные колебания упругих моделей в случае малых движений, наличие парных форм и частот колебаний в одной моде.

 

 

 

 

 
О факультете Научная жизнь Сотрудники Абитуриенту Журналы Интернет Отправить письмо вебмастеру Назад На первую страницу На сервер МГУ