Введение: что можно узнать из этого материала Этот материал предназначен, в первую очередь, для студентов, слушающих курс <Финансовая статистика>, но представляет интерес и для всех, кто интересуется проблемами приложений вероятностных методов. Научная суть проблемы заключается в следующем. Речь идет о динамике рыночных цен в данном случая на акции (финансовый рынок), но по-видимому, другие рынки (нефть, сахар,...) обнаруживают нечто похожее. Можно ли анализировать какие-нибудь свойства изменений цен с помощью понятий теории вероятностей? Понятие вероятности обычно интерпретируется в частотном смысле, и стало быть, требует статистического ансамбля экспериментов, в котором частоты тех или иных событий на опыте обнаруживают статистическую устойчивость. Поэтому динамика цен того или иного актива в целом, т.е. за большое время (годы, десятки лет) не является предметом теории вероятностей, ведь нет возможности повторять в наблюдениях много раз рыночную историю этого актива. Возможный подход, которым и пользуется стохастическая финансовая математика, был предложен в 1900 г. Л.Башелье. Он заключается в том, что рассматриваются приращения цен за небольшое время (что-нибудь от десятков минут до десятков дней), а уж этих приращений за рыночную историю актива можно набрать много. Проверка на опыте примерного постоянства их функций распределения (за разные периоды времени) дает, в общем, положительный результат. В середине ХХ века было понято, что для цен акций лучше перейти к логарифмам: функции распределения приращений логарифмов оказываются более стабильными, чем без логарифмирования. К тому же получаемые распределения сходны с нормальным, так что для логарифма цены возникает модель броуновского движения. Но все это было хорошо, пока объем рассматриваемых выборок оставался в пределах сотен. Например, если рассматривать ежедневные цены закрытия торгов, то за год получается около 250 наблюдений приращений (потому что по выходным и праздникам биржевых торгов не бывает), и в нормальном масштабе получаемые эмпирические функции распределения неплохо ложатся на прямые. Но ведь за несколько лет число наблюдений может составить тысячи (а если использовать не только цены закрытия, но и цены сделок внутри биржевой сессии, то и миллионы). Эмпирические функции распределения, отвечающие тысячам наблюдений, уже явно отличаются от нормальных: они имеют так называемые <тяжелые хвосты>, т.е. вероятности больших положительных или больших (по модулю) отрицательных значений оказываются гораздо больше, чем полагалось бы в случае нормального закона. Вот и возник вопрос, какими же распределениями вероятностей нужно описывать эти хвосты. Первым исследователем, который серьезно занялся хвостами, был Б.Мандельброт (начало 60-х годов ХХ века). Он получил для цен на хлопок (использовав несколько тысяч наблюдений) поразительные экспериментальные результаты, из которых вроде бы следовало, что уместно применение устойчивых законов. Хотя в целом выводы Мандельброта, по-видимому, оказались ошибочными, дело тут далеко не просто. Его данные заслуживают внимания, так что следовало бы провести их новую обработку, но этому мешает то обстоятельство, что исходный материал вряд ли существует в электронной форме. Затем были предложены другие семейства распределений, в частности, Барндорфф-Нильсен и в развитие его работ группа Эберлейна предложили так называемые гиперболические распределения. Однако, анализируя реальные данные, мы пришли к выводу, что поиски каких-либо распределений, отличных от нормального (если речь идет о приращениях за день или более) вообще напрасны: те отличия от нормального закона, которые показывают фактические данные, недостаточно статистически устойчивы. Если взять эмпирические функции распределения за разные годы, то между ними обнаруживаются определенные различия, которые невозможно охватить единой, хотя бы и более сложной, функцией распределения. Распределения (логарифмических) приращений цен не вполне статистически однородны. Это, конечно, означает остро дискуссионный вывод о том, что ряд известных исследователей искали то, чего нет и даже не может быть. Смешная сторона ситуации со стохастической финансовой математикой состоит вот в чем. Хотя работа Башелье и называлась <теория спекуляции>, но в ней была предложена такая модель (броуновское движение с нулевым сносом), которая исключает всякую возможность прибыльной спекуляции. Современные нам модели несколько отличаются от модели Башелье, но все равно математическое ожидание дохода от спекуляции в них очень близко к нулю. Таким образом, рыночному спекулянту эта наука ничего полезного не предлагает. Что же она предлагает? В недавнее время обсуждаются всякие проекты стабилизации рыночно-финансовой системы за счет использования вероятностного подхода. Например, предполагается обязать банки, играющие на рынке ценных бумаг, создавать резервы в зависимости от волатильности их портфелей. Видимо, тут заложено стремление избежать финансовых катастроф типа катастрофы банка "Barings", который погиб из-за слишком большого портфеля фьючерсов (они гораздо более волатильны, чем акции). Подход чисто вероятностный: каждый день банк должен вычислять VaR, т.е. такие потери на следующий день, которые возможны с вероятностью не более 0.05, и величину порядка 3VaR класть в резерв. Понятно, что в основе таких расчетов должна лежать оценка именно текущей волатильности портфеля (которая наблюдалась в последние несколько дней), а усредненные за несколько лет данные (которые связаны с гиперболическими распределениями или смесями нормальных) окажутся вовсе ни при чем. Материал организован следующим образом. Введение (файл introduc3). Cобственно статья, которая и представляет учебный интерес (для студентов, слушающих <Финансовую статистику>) или научный интерес для всех желающих - это файл utochne. Рисунки даны в отдельном файле в формате Excel в архивированном виде.