Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия Следующая версия справа и слева
algnum [2018/09/22 22:12]
Уланский Евгений Алесандрович [Алгебраические числа]
algnum [2018/09/23 17:03]
Уланский Евгений Алесандрович
Строка 1: Строка 1:
 ======Алгебраические числа====== ======Алгебраические числа======
-Спецкурс,​ годовой (можно сдать как два полугодовых),​ для студентов ​3-6 курсов,​ читает член-корреспондент РАН, профессор [[нестеренко_юрий_валентинович|Юрий Валентинович Нестеренко]] **по четвергам с 16:45 в аудитории 14-15** с 27 сентября\\+Спецкурс,​ годовой (можно сдать как два полугодовых),​ для студентов ​1-6 курсов,​ читает член-корреспондент РАН, профессор [[нестеренко_юрий_валентинович|Юрий Валентинович Нестеренко]] **по четвергам с 16:45 в аудитории 14-15** с 27 сентября\\
 Обязательный спецкурс для группы защиты информации,​ представляющий из себя введение в теорию алгебраических чисел. \\ Обязательный спецкурс для группы защиты информации,​ представляющий из себя введение в теорию алгебраических чисел. \\
 Вы можете прослушать данный курс в качестве спецкурса по выбору,​ даже если не учитесь в группе защиты информац Вы можете прослушать данный курс в качестве спецкурса по выбору,​ даже если не учитесь в группе защиты информац
 ии.\\ ии.\\
  
-=====Вопросы к зачёту===== ​ 
  
-1. Простые расширения. Степень расширения. Поведение степени в башнях расширений. 
-\\ 
-2. Теорема об эквивалентности конечности и конечной порожденности алгебраических расширений и ее следствия. 
-\\ 
-3. Алгебраическая замкнутость поля всех алгебраических чисел. 
-\\ 
-4. Теорема о примитивном элементе. 
-\\ 
-5.     ​Доказательство теоремы о примитивном элементе в конечных полях. Структура конечных полей. 
-\\ 
-6. Лемма о продолжении вложений и ее следствия. 
-\\ 
-7. Нормальные расширения. Эквивалентность различных определений. 
-\\ 
-8. Характеристический многочлен числа, его связь с минимальным многочленом. Норма и след в алгебраических расширениях,​ их свойства. 
-\\ 
-9. Дискриминант совокупности чисел, его свойства. Взаимный базис. 
-\\ 
-10. Лемма о дискретных подгруппах в $\mathbb{R}^n$. 
-\\ 
-11. Теорема о том, что множество целых алгебраических чисел произвольного поля алгебраических чисел есть порядок. 
-\\ 
-12.   ​Теоремы Блихфельда и Минковского. 
-\\ 
-13. Существование в полном модуле чисел с заданными ограничениями на величину их сопряженных. 
-\\ 
-14. Теорема Дирихле о единицах. Гомоморфизм группы единиц в $\mathbb{R}^{s+t}$. Структура образа и ядра этого отображения. 
-\\ 
-15. Конструкция $s+t-1$ независимых единиц. 
-\\ 
-16. Максимальность простых идеалов. Свойство обрывания возрастающих цепочек идеалов. 
-\\ 
-17. Дробные идеалы. Доказательство равенства $M\cdot M^{-1} = \mathbb{Z}_K$. 
-\\ 
-18. Теорема о существовании и единственности разложения идеалов в произведение простых. 
-\\ 
-19. Показатели и их свойства. 
-\\ 
-20. Норма идеала. Мультипликативность нормы. 
-\\ 
-21. Норма главного идеала. 
-\\ 
-22. Конечность группы классов идеалов. 
-\\ 
-23. Разложение целых рациональных чисел в $\mathbb{Z}_K$. Теорема Куммера. 
-\\ 
-24. Конечность множества разветвленных простых чисел. 
-\\ 
-25. Теорема о делимости дискриминантов (условие Эйзенштейна). 
  
-**Для получения зачёта необходимо правильно решить ​не менее четырёх из пяти предложенных задач и показать полное владение теоретическим материалом курса**+=====Конспект лекций. Программа===== 
 +{{:​lectures_algebraic_numbers.pdf|Конспект лекций}}\\ 
 +{{:​algnum_2018-2019.pdf|Программа}}
  
-=====Задачи к зачёту===== +[[algnum_old|Программа предыдущих лет]]
- +
-1. Вычислить $\Sigma=\displaystyle\sum\limits +
-_{k=0}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}$, где $\left(\frac{k}{p}\right)$ ​ -- символ Лежандра. +
- +
-РЕШЕНИЕ:​ +
-$$\Sigma^2=\sum\limits +
-_{k=1}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}\sum\limits +
-_{l=1}^{6}\left(\frac{l}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}l}.$$ +
-Заменим во внутренней сумме $l$ на $lk$. Это не изменит результата суммирования,​ так как $lk$ вместе с $l$ пробегает приведённую систему вычетов по модулю 7, а символ Лежандра и экспонента периодичны с периодом 7. Имеем +
-$$\Sigma^2=\sum\limits +
-_{k=1}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}\sum\limits +
-_{l=1}^{6}\left(\frac{lk}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}lk}=\sum\limits +
-_{l=1}^{6}\left(\frac{l}{7}\right)\sum\limits +
-_{k=1}^{6}e ^{\frac{2\pi i(l+1)}{7}k}=6\left(\frac{6}{7}\right)-\sum\limits +
-_{l=1}^{5}\left(\frac{l}{7}\right)=7\left(\frac{6}{7}\right)=-7.$$ +
-Здесь использовалось,​ что все степени от 1 до 6 числа $e ^{\frac{2\pi i}{7}}$ есть корни многочлена $x^6+\ldots+x+1$. Значит,​ $\Sigma=\pm i\sqrt{7}$. Чтобы определить знак, запишем явно +
-$$\Sigma=e ^{\frac{2\pi i}{7}}+e ^{\frac{2\pi i}{7}2}+e ^{\frac{2\pi i}{7}4}-e ^{\frac{2\pi i}{7}3}-e ^{\frac{2\pi i}{7}5}-e ^{\frac{2\pi i}{7}6}=2i\left(\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{6\pi}{7}\right)\right).$$ +
-Выражение в скобках,​ очевидно,​ положительно. +
- +
-ОТВЕТ: $\Sigma = i\sqrt{7}$. +
- +
-2. Разложить на неприводимые над $\mathbb{Q}$ множители многочлен +
-$x^{56}-1.$ +
- +
-РЕШЕНИЕ:​ +
- +
-Мы знаем, что $x^n-1=\displaystyle\prod\limits_{d|n}\Phi_d(x)$,​ где $\Phi_d(x)$ -- многочлен деления круга, как известно,​ неприводимый. Имеем $56=2^3\cdot 7$.Воспользуемся свойствами многочленов деления круга:​ +
-$$\Phi_{2n}(x)=\Phi_n(-x)\ \textrm{при}\ 2\nmid n,\ n>​2,​\quad \Phi_{p^{r+1}}(x)=\Phi_p(x^{p^r}),​\quad\Phi_{p_1^{r_1+1}\cdots\ p_k^{r_k+1}}(x)=\Phi_{p_1\cdots p_k}(x^{p_1^{r_1}\cdots\:​ p_k^{r_k}}).$$ +
-Находим $\Phi_1(x)=x-1,​\ \Phi_2(x)=\displaystyle\frac{x^2-1}{\Phi_1(x)}=x+1,​\ \Phi_7(x)=\displaystyle\frac{x^7-1}{\Phi_1(x)}=x^6+\ldots+x+1$. Далее $\Phi_4(x)=\Phi_2(x^2)=x^2+1$,​ $\Phi_8(x)=\Phi_2(x^4)=x^4+1$,​ $\Phi_{14}(x)=\Phi_7(-x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$. Теперь $\Phi_{28}(x)=\Phi_{14}(x^2)=x^{12}-x^{10}+x^8-x^6+x^4-x^2+1$,​ $\Phi_{56}(x)=\Phi_{14}(x^4)=x^{24}-x^{20}+x^{16}-x^{12}+x^8-x^4+1$. +
- +
-ОТВЕТ: $x^{56}-1=\Phi_1(x)\Phi_2(x)\Phi_4(x)\Phi_7(x)\Phi_8(x)\Phi_{14}(x)\Phi_{28}(x)\Phi_{56}(x)$. Явные формулы см. выше. +
-  +
-3. Найти кольцо множителей и норму модуля $M=\{ 7, 3+\sqrt{-5}\}$ +
-в поле $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$. ​Подобен ли этот модуль +
-$\mathbb{Z}_K$?​ +
- +
-РЕШЕНИЕ:​ +
- +
-$\mathbb{Z}_K=\{ 1, \sqrt{-5}\}$. Мы знаем, что $E_M=\{ 1, c\sqrt{-5}\}$ с некоторым $c\in\mathbb{N}$. Запишем $$c\sqrt{-5}\cdot 7=7c\cdot(3+\sqrt{-5})-3c\cdot 7\in M,\quad c\sqrt{-5}\cdot(3+\sqrt{-5})=3c\sqrt{-5}-5c=3c\cdot(3+\sqrt{-5})-2c\cdot 7\in M. $$ +
-Значит,​ подходит уже $c=1$, и $E_M=\mathbb{Z}_K$.  +
- +
-Норма модуля может быть найдена как абсолютная величина определителя матрицы перехода от базиса кольца множителей модуля к базису самого модуля. Имеем $1=\frac{1}{7}\cdot 7+0\cdot(3+\sqrt{-5}),​\quad \sqrt{-5}=-\frac{3}{7}\cdot 7+1\cdot(3+\sqrt{-5})$,​ откуда $N(M)=\frac{1}{7}$. +
- +
-Модули $\{ 1, \alpha\}$ и $\{ 1, \beta\}$ подобны тогда и только тогда, когда числа $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны. Приведённые же квадратичные иррациональности эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. Число $\sqrt{-5}$ уже является приведённым, то есть принадлежит фундаментальной области +
-$$H=\left\{ \tau\in\mathbb{C}\ \left|\ -\frac{1}{2}<​\Re\tau<​0,​\ \Im\tau >0, |\tau|>​1\right.\right\}\bigcup\left\{ \tau\in\mathbb{C}\ \left|\ 0\leqslant\Re\tau\leqslant\frac{1}{2},​\ \Im\tau >0, |\tau|\geqslant1\right.\right\}.$$ +
-А число $\displaystyle\frac{3+\sqrt{-5}}{7}$ эквивалентно ​приведённому числу $\displaystyle\frac{1+\sqrt{-5}}{2}$. Отсюда видно, что модуль $M$ не подобен $\mathbb{Z}_K$. +
- +
-ОТВЕТ: $\{ 1, \sqrt{-5}\},​\ \frac{1}{7}$,​ нет. +
- +
-4. Найти группу единиц в кольце $\mathbb{Z}_K$ при +
-$K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$. +
- +
-РЕШЕНИЕ:​ +
- +
-Из теории следует,​ что в действительном квадратичном поле алгебраических чисел есть одна фундаментальная единица. Она будет соответствовать минимальному решению уравнения Пелля $x^2-7y^2=\pm 1$. Это решение,​ как известно,​ доставляется числителем и знаменателем 3-й подходящей дроби, получаемой при разложении в цепную дробь числа $\sqrt{7}=[2;​\overline{1,​1,​1,​4}]$. Находим $x=8,\ y=3$. +
- +
-ОТВЕТ: $\{\pm\left(8+3\sqrt{7}\right)^n,​\ n\in\mathbb{Z}\}$. +
- +
-5. Разложить главный идеал $(3)$ в произведение простых идеалов в +
-поле $K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$. +
- +
-РЕШЕНИЕ:​ +
- +
-$\mathbb{Z}_K=\{ 1, \sqrt{7}\}$. Минимальный многочлен $x^2-7$ числа $\sqrt{7}$ имеет по модулю 3 корни 1 и -1. Согласно общей теории можно записать +
- +
-ОТВЕТ: $(3)=(3,​\sqrt{7}-1)\cdot(3,​\sqrt{7}+1)$. +
- +
-**Для получения зачёта необходимо правильно решить не менее четырёх из пяти предложенных задач и показать полное владение теоретическим материалом курса** +
- +
-=====Конспект лекций===== +
-{{:​lectures_algebraic_numbers.pdf|Конспект лекций Ю.В.Нестеренко}}\\ +
-{{:​algebraicnumbers_program.pdf|Вопросы и задачи}}+