Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия
Предыдущая версия
algnum [2017/09/18 23:36]
Уланский Евгений Алесандрович [Алгебраические числа]
algnum [2018/09/27 23:12]
Уланский Евгений Алесандрович [Программа курса]
Строка 1: Строка 1:
 ======Алгебраические числа====== ======Алгебраические числа======
-Спецкурс,​ годовой,​ для студентов ​3-6 курсов. Проходит **по вторникам с 18:30 в аудитории ​13-03** с 19 сентября\\+Спецкурс,​ годовой ​(можно сдать как два полугодовых), для студентов ​1-6 курсов, читает член-корреспондент РАН, ​профессор [[нестеренко_юрий_валентинович|Юрий Валентинович Нестеренко]] **по четвергам с 16:45 в аудитории ​14-15** с 27 сентября\\
 Обязательный спецкурс для группы защиты информации,​ представляющий из себя введение в теорию алгебраических чисел. \\ Обязательный спецкурс для группы защиты информации,​ представляющий из себя введение в теорию алгебраических чисел. \\
 Вы можете прослушать данный курс в качестве спецкурса по выбору,​ даже если не учитесь в группе защиты информации.\\ Вы можете прослушать данный курс в качестве спецкурса по выбору,​ даже если не учитесь в группе защиты информации.\\
  
-=====Вопросы к зачёту===== ​+=====Программа курса=====
  
-1. Простые расширения. Степень расширения. Поведение степени в башнях расширений. +Диофантово ​уравнение ​$y^3−x^2 = 2$Простые расширения. Степень расширения. 
-\\ +Поведение степени в башнях расширений. ​Неразрешимость задач 
-2. Теорема об эквивалентности конечности и конечной порожденности алгебраических расширений и ее следствия. +удвоения куба и трисекции ​угла при ​помощи циркуля и линейки.
-\\ +
-3. Алгебраическая замкнутость поля всех алгебраических чисел. +
-\\ +
-4. Теорема о примитивном элементе. +
-\\ +
-5.     ​Доказательство теоремы о примитивном элементе в конечных полях. Структура конечных ​полей. +
-\\ +
-6. Лемма о продолжении вложений и ее следствия. +
-\\ +
-7. Нормальные ​расширения. ​Эквивалентность различных определений. +
-\\ +
-8. Характеристический многочлен числа, его связь с минимальным многочленом. Норма и след в алгебраических расширениях, их свойства. +
-\\ +
-9. Дискриминант совокупности чисел, его свойства. Взаимный базис. +
-\\ +
-10. Лемма о дискретных подгруппах в $\mathbb{R}^n$. +
-\\ +
-11. Теорема о том, что множество целых алгебраических чисел произвольного поля алгебраических чисел есть порядок. +
-\\ +
-12.   ​Теоремы Блихфельда и Минковского. +
-\\ +
-13. Существование в полном модуле чисел с заданными ограничениями на величину их сопряженных. +
-\\ +
-14. Теорема Дирихле о единицах. Гомоморфизм группы ​единиц в $\mathbb{R}^{s+t}$. Структура образа и ядра этого отображения. +
-\\ +
-15. Конструкция $s+t-1$ независимых единиц. +
-\\ +
-16. Максимальность ​простых ​идеалов. Свойство обрывания возрастающих цепочек ​идеалов. +
-\\ +
-17. Дробные идеалы. Доказательство равенства $M\cdot M^{-1} = \mathbb{Z}_K$. +
-\\ +
-18. Теорема о существовании и единственности разложения идеалов в произведение простых. +
-\\ +
-19. Показатели и их свойства. +
-\\ +
-20. Норма идеала. Мультипликативность нормы. +
-\\ +
-21. Норма главного идеала. +
-\\ +
-22. Конечность группы классов идеалов. +
-\\ +
-23. Разложение целых рациональных чисел в $\mathbb{Z}_K$. Теорема Куммера. +
-\\ +
-24. Конечность множества разветвленных простых чисел. +
-\\ +
-25. Теорема о делимости дискриминантов (условие Эйзенштейна).+
  
-**Для получения зачёта необходимо правильно ​решить не менее ​четырёх ​из пяти предложенных задач ​и показать полное ​владение теоретическим материалом ​курса**+Теорема об эквивалентности конечности и конечной порожденности 
 +алгебраических расширений, её следствия. Алгебраическая замкнутость 
 +поля всех алгебраических чисел. Теорема о примитивном элементе. Лемма 
 +о продолжении вложений и ее следствия. Нормальные расширения. 
 +Группа Галуа нормального ​расширения и её свойства.
  
-=====Задачи к зачёту=====+Поле разложения многочлена. Группа Галуа многочлена. Разрешимость 
 +в радикалах уравнений второй,​ третьей и четвёртой степени. Круговые 
 +поля. Теорема Гаусса о построении правильных многоугольников. 
 +Конечные поля. Вычисление группы Галуа для некоторых многочленов. 
 +Неразрешимость в радикалах уравнений пятой и более высоких степеней.
  
-1. Вычислить $\Sigma=\displaystyle\sum\limits +Характеристический многочлен ​числа, его связь с минимальным многочленом. 
-_{k=0}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}$, ​где ​$\left(\frac{k}{p}\right)$ ​ -- символ ​Лежандра.+Норма и след в алгебраических расширениях,​ их свойства. 
 +Дискриминант совокупности чиселего свойства. Взаимный базис.
  
-РЕШЕНИЕ:​ +Лемма о дискретных подгруппах в $\mathbb{R}^n$. Теорема ​о том, что множество 
-$$\Sigma^2=\sum\limits +целых алгебраических чисел произвольного ​поля алгебраических чисел 
-_{k=1}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}\sum\limits +есть порядокТеоремы Блихфельдта ​и Минковского. Существование в 
-_{l=1}^{6}\left(\frac{l}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}l}.$$ +полном модуле ​чисел с заданными ​ограничениями ​на величину их сопряженных
-Заменим во внутренней сумме $l$ на $lk$. Это не изменит результата суммирования, так как $lk$ вместе с $l$ пробегает приведённую ​систему вычетов по модулю 7, а символ Лежандра и экспонента периодичны с периодом 7Имеем +Теорема Дирихле о единицах.
-$$\Sigma^2=\sum\limits +
-_{k=1}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}\sum\limits +
-_{l=1}^{6}\left(\frac{lk}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}lk}=\sum\limits +
-_{l=1}^{6}\left(\frac{l}{7}\right)\sum\limits +
-_{k=1}^{6}e ^{\frac{2\pi i(l+1)}{7}k}=6\left(\frac{6}{7}\right)-\sum\limits +
-_{l=1}^{5}\left(\frac{l}{7}\right)=7\left(\frac{6}{7}\right)=-7.$$ +
-Здесь использовалось, что все степени от 1 до числа ​$e ^{\frac{2\pi i}{7}}$ есть корни ​многочлена $x^6+\ldots+x+1$. Значит, $\Sigma=\pm i\sqrt{7}$. Чтобы ​определить знак, запишем явно +
-$$\Sigma=e ^{\frac{2\pi i}{7}}+e ^{\frac{2\pi i}{7}2}+e ^{\frac{2\pi i}{7}4}-e ^{\frac{2\pi i}{7}3}-e ^{\frac{2\pi i}{7}5}-e ^{\frac{2\pi i}{7}6}=2i\left(\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{6\pi}{7}\right)\right).$$ +
-Выражение в скобках, очевидно, положительно.+
  
-ОТВЕТ: $\Sigma = i\sqrt{7}$.+Максимальность простых идеалов. Свойство обрыва возрастающих 
 +цепочек идеалов. Дробные идеалы. ​Теорема о разложении идеалов в 
 +произведение простых. Показатели и их свойства. Норма идеала. Мультипликативность 
 +нормы. Норма главного идеала. Конечность группы 
 +классов идеалов. Разложение целых рациональных чисел в произведение 
 +простых идеалов кольца целых поля алгебраических чисел. Конечность 
 +множества разветвленных простых чисел.
  
-2. Разложить на неприводимые над $\mathbb{Q}$ множители многочлен +Теорема Ферма для регулярных простых ​чисел еорема Куммера).
-$x^{56}-1.$+
  
-РЕШЕНИЕ:​ 
  
-Мы знаем, что $x^n-1=\displaystyle\prod\limits_{d|n}\Phi_d(x)$,​ где $\Phi_d(x)$ -- многочлен деления круга, как известно,​ неприводимый. Имеем $56=2^3\cdot 7$.Воспользуемся свойствами многочленов деления круга: 
-$$\Phi_{2n}(x)=\Phi_n(-x)\ \textrm{при}\ 2\nmid n,\ n>​2,​\quad \Phi_{p^{r+1}}(x)=\Phi_p(x^{p^r}),​\quad\Phi_{p_1^{r_1+1}\cdots\ p_k^{r_k+1}}(x)=\Phi_{p_1\cdots p_k}(x^{p_1^{r_1}\cdots\:​ p_k^{r_k}}).$$ 
-Находим $\Phi_1(x)=x-1,​\ \Phi_2(x)=\displaystyle\frac{x^2-1}{\Phi_1(x)}=x+1,​\ \Phi_7(x)=\displaystyle\frac{x^7-1}{\Phi_1(x)}=x^6+\ldots+x+1$. Далее $\Phi_4(x)=\Phi_2(x^2)=x^2+1$,​ $\Phi_8(x)=\Phi_2(x^4)=x^4+1$,​ $\Phi_{14}(x)=\Phi_7(-x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$. Теперь $\Phi_{28}(x)=\Phi_{14}(x^2)=x^{12}-x^{10}+x^8-x^6+x^4-x^2+1$,​ $\Phi_{56}(x)=\Phi_{14}(x^4)=x^{24}-x^{20}+x^{16}-x^{12}+x^8-x^4+1$. 
  
-ОТВЕТ: $x^{56}-1=\Phi_1(x)\Phi_2(x)\Phi_4(x)\Phi_7(x)\Phi_8(x)\Phi_{14}(x)\Phi_{28}(x)\Phi_{56}(x)$. Явные формулы см. выше+=====Конспект лекций===== 
-  +{{:​lectures_algebraic_numbers.pdf|Конспект ​лекций}}\\ 
-3. Найти ​кольцо множителей и норму модуля $M=\7, 3+\sqrt{-5}\}$ +{{:​algnum_2018-2019.pdf|Программа}}
-в поле $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$. Подобен ли этот ​модуль +
-$\mathbb{Z}_K$?+
  
-РЕШЕНИЕ:​ +[[algnum_old|Программа предыдущих лет]]
- +
-$\mathbb{Z}_K=\{ 1, \sqrt{-5}\}$. Мы знаем, что $E_M=\{ 1, c\sqrt{-5}\}$ с некоторым $c\in\mathbb{N}$. Запишем $$c\sqrt{-5}\cdot 7=7c\cdot(3+\sqrt{-5})-3c\cdot 7\in M,\quad c\sqrt{-5}\cdot(3+\sqrt{-5})=3c\sqrt{-5}-5c=3c\cdot(3+\sqrt{-5})-2c\cdot 7\in M. $$ +
-Значит,​ подходит уже $c=1$, и $E_M=\mathbb{Z}_K$.  +
- +
-Норма модуля может быть найдена как абсолютная величина определителя матрицы перехода от базиса кольца множителей модуля к базису самого модуля. Имеем $1=\frac{1}{7}\cdot 7+0\cdot(3+\sqrt{-5}),​\quad \sqrt{-5}=-\frac{3}{7}\cdot 7+1\cdot(3+\sqrt{-5})$,​ откуда $N(M)=\frac{1}{7}$. +
- +
-Модули $\{ 1, \alpha\}$ и $\{ 1, \beta\}$ подобны тогда и только тогда, когда числа $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны. ​Приведённые же квадратичные иррациональности эквивалентны тогда и только тогда, когда они ​равны. Число $\sqrt{-5}$ уже является приведённым, то есть принадлежит фундаментальной области +
-$$H=\left\{ \tau\in\mathbb{C}\ \left|\ -\frac{1}{2}<​\Re\tau<​0,​\ \Im\tau >0, |\tau|>​1\right.\right\}\bigcup\left\{ \tau\in\mathbb{C}\ \left|\ 0\leqslant\Re\tau\leqslant\frac{1}{2},​\ \Im\tau >0, |\tau|\geqslant1\right.\right\}.$$ +
-А число $\displaystyle\frac{3+\sqrt{-5}}{7}$ эквивалентно ​приведённому числу $\displaystyle\frac{1+\sqrt{-5}}{2}$. Отсюда видно, что модуль $M$ не подобен $\mathbb{Z}_K$. +
- +
-ОТВЕТ: $\{ 1, \sqrt{-5}\},​\ \frac{1}{7}$,​ нет. +
- +
-4. Найти группу единиц в кольце $\mathbb{Z}_K$ при +
-$K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$. +
- +
-РЕШЕНИЕ:​ +
- +
-Из теории следует,​ что в действительном квадратичном поле алгебраических чисел есть одна фундаментальная единица. Она будет соответствовать минимальному решению уравнения Пелля $x^2-7y^2=\pm 1$. Это решение,​ как известно,​ доставляется числителем и знаменателем 3-й подходящей дроби, получаемой при разложении в цепную дробь числа $\sqrt{7}=[2;​\overline{1,​1,​1,​4}]$. Находим $x=8,\ y=3$. +
- +
-ОТВЕТ: $\{\pm\left(8+3\sqrt{7}\right)^n,​\ n\in\mathbb{Z}\}$. +
- +
-5. Разложить главный идеал $(3)$ в произведение простых идеалов в +
-поле $K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$. +
- +
-РЕШЕНИЕ:​ +
- +
-$\mathbb{Z}_K=\{ 1, \sqrt{7}\}$. Минимальный многочлен $x^2-7$ числа $\sqrt{7}$ имеет по модулю 3 корни 1 и -1. Согласно общей теории можно записать +
- +
-ОТВЕТ: $(3)=(3,​\sqrt{7}-1)\cdot(3,​\sqrt{7}+1)$. +
- +
-**Для получения зачёта необходимо правильно решить не менее четырёх из пяти предложенных задач и показать полное владение теоретическим материалом курса** +
- +
-=====Конспект лекций===== +
-{{:​lectures_algebraic_numbers.pdf|Конспект лекций Ю.В.Нестеренко}}\\ +
-{{:​algebraicnumbers_program.pdf|Вопросы и задачи}}+