Основы теории чисел

Спецсеминар, полугодовой, для студентов 1-2 курсов
под руководством ассистента Рочева Игоря Петровича и доцента Уланского Евгения Александровича.

Спецсеминар призван показать красоту теории чисел и математической науки в целом на примерах элементарных, но глубоких результатов, по праву считающихся жемчужинами теории чисел. Специальных предварительных знаний не требуется. Все желающие смогут самостоятельно выступить на спецсеминаре с докладом по одной из понравившихся тем.

Ориентировочная программа

Основная теорема арифметики в целостных кольцах, примеры среди квадратичных полей, приложение к диофантовым уравнениям;
Арифметика целых гауссовых чисел, суммы двух квадратов;
Вычисление символа Лежандра двойки через гауссовы числа;
Многочлены деления круга, их неприводимость;
Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях, частные случаи: $mn+1$ и $mn-1$;
Суммы Гаусса, док-во квадратичного закона взаимности с помощью сумм Гаусса;
Квадратичные вычеты и невычеты: гипотезы Виноградова, оценки для $n_p$ и $d_p$ (нер-во Виноградова–Пойа, $n_p<1/2+\sqrt{p+1/4}$, $n_p<p^{1/(2\sqrt{e})+\epsilon}$, теоремы Бёрджесса);
Построения с помощью циркуля и линейки, три классические неразрешимые задачи на построение, теорема Гаусса–Ванцеля о правильных многоугольниках;
Цепные дроби: подходящие дроби как наилучшие приближения второго рода, теорема Лагранжа, решение уравнений Пелля, геометрическая теория цепных дробей;
Введение в геометрию чисел;
Аддитивная комбинаторика;
Кватернионы, арифметика кватернионов и суммы трёх и четырёх квадратов.