Занумеруем простые числа в порядке возрастания $p_1<p_2<p_3<\ldots$ Покажем, что последовательность $S_n=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\ldots +\frac{1}{p_n}$ стремится к бесконечности при $n\to\infty$. Так как это строго возрастающая последовательность, то она либо имеет конечный предел, либо стремится к бесконечности. Допустим, что она имеет конечный предел. Тогда, начиная с некоторого $k$ для любого $n$ будет справедливо $S_n-S_k<\frac{1}{2}$. Посчитаем количество чисел, не превышающих некоторого числа $N$ и делящихся хотя бы на одно из простых чисел, больших чем $p_k$. Обозначим эту величину за $N_1$. Поскольку по теореме 3 последовательность простых чисел бесконечна и она строго возрастает, то найдётся число $n$ такое, что $p_n\leqslant N<p_{n+1}$. Интересующие нас числа должны делиться хотя бы на одно из простых $p_{k+1},\ldots ,p_n$. Количество чисел, не превышающих $N$ и делящихся на $p_i$, равно $\left[\frac{N}{p_i}\right]$. Тогда $$N_1\leqslant\left[\frac{N}{p_{k+1}}\right]+\left[\frac{N}{p_{k+2}}\right]+\ldots +\left[\frac{N}{p_n}\right]\leqslant N\left(\frac{1}{p_{k+1}}+\ldots +\frac{1}{p_n}\right)=N(S_n-S_k)<\frac{N}{2}.$$ Посчитаем теперь количество чисел, не превосходящих $N$ и не делящихся на простые, превышающие $p_k$, которое мы обозначим за $N_2$. По основной теореме арифметики это множество состоит из $1$ и чисел, делящихся на простые $p_1,\ldots ,p_k$ и только на такие простые. Каждое из этих чисел единственным образом представляется в виде $a\cdot b^2$, где $a$ не делится на квадрат ни одного натурального числа, большего единицы. При этом очевидно, что $b\leqslant\sqrt{N}$, а в $a$ каждое из простых чисел $p_1,\ldots ,p_k$ может входить только в степени $0$ или $1$, поэтому различных таких чисел $a$ может быть лишь $2^k$. Таким образом $N_2\leqslant 2^k\sqrt{N}$.
Выберем в качестве $N$ число $2^{2k+2}$. Тогда $$N_2\leqslant 2^k\sqrt{N}=\frac{\sqrt{N}}{2}\cdot\sqrt{N}=\frac{N}{2}.$$ Получаем $$N_1+N_2<\frac{N}{2}+\frac{N}{2}=N.$$ В то же время из определения чисел $N_1$ и $N_2$ напрямую следует, что $N_1+N_2=N$. Полученное противоречие означает, что последовательность $S_n$ стремится к бесконечности при $n\to\infty$, что и требовалось.