Диофантовы приближения и трансцендентные числа

Годовой спецкурс для студентов 1-5 курсов. Читает профессор Александр Иванович Галочкин.

Никаких предварительных знаний по теории чисел у слушателей не предполагается.

Будут изучены основные методы доказательств трансцендентности и алгебраической независимости значений функций, доказаны теоремы о трансцендентности чисел $e$ и $\pi$, об алгебраической независимости значений показательной функции в алгебраических точках, а также значений функций более общего вида.

Программа

1. Поле алгебраических чисел. Кольцо целых алгебраических чисел.

2. Алгебраическое числовое поле. Каноническое представление элементов, числа, сопряженные в поле, теорема о примитивном элементе.

3. Существование базиса в кольце целых чисел алгебраического числового поля.

4. Теорема Дирихле о приближении действительных чисел. Оценки сверху линейных форм от действительных чисел.

5. Теорема Лиувилля. Построение трансцендентных чисел.

6. Оценка снизу многочлена от нескольких алгебраических чисел.

7. Теорема Туэ-Зигеля.

8. Применение теоремы Туэ-Зигеля к диофантовым уравнениям.

9. Трансцендентность числа $e$.

10. Определение и простейшие свойства Е-функций. Гипергеометрические Е-функции. Формулировка теоремы Шидловского. Вывод из нее теоремы Линдемана-Вейерштрасса.

11. Лемма Зигеля (случаи поля рациональных чисел и алгебраического числового поля).

12. Построение приближающей линейной формы для Е-функций.

13. Количественные оценки для приближающих линейных форм.

14. Лемма о неравенстве нулю функционального определителя.

15. Лемма о неравенстве нулю числового определителя.

16. Доказательство теоремы Шидловского.

17. Оценка снизу линейной формы от значений Е-функций с рациональными коэффициентами.

18. Доказательство теоремы Гельфонда-Шнейдера. Ее следствия.

19. Построение Паде-аппроксимаций для нескольких экспонент.

20. Построение полной системы линейных форм для нескольких экспонент.

21. Оценка Малера линейной формы от значений показательной функции.