Спецкурс фактически является годовым, но из-за особенностей учебных планов разбит на два полугодовых спецкурса: «Неархимедовы нормированные поля» (читается в осеннем семестре) и «Основы неархимедова анализа» (читается весной).
Рассчитан на студентов 2–6 курсов.
Читает ассистент Рочев Игорь Петрович .
Специальный курс знакомит слушателей с некоторыми аналитическими и алгебраическими вопросами теории неархимедовых нормированных полей, в частности полей p-адических чисел. Обсуждается построение алгебраически замкнутого полного расширения поля p-адических чисел (p-адического аналога поля комплексных чисел). Подробно изучаются аналитические функции p-адического аргумента, для которых доказываются аналоги многих фактов из стандартного курса комплексного анализа. Также рассматриваются некоторые теоретико-числовые приложения (например, теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейных рекуррентных последовательностей). Никаких предварительных знаний про p-адические числа (и нормированные поля) не требуется.
Нормированные поля. Неархимедовы нормы. Эквивалентность норм. Нормы на поле рациональных чисел (теорема Островского).
Пополнение нормированного поля. Поле p-адических чисел. Стандартное представление p-адического числа.
Теорема о слабой аппроксимации.
Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях. Пример: представители Тейхмюллера.
Лемма Гензеля. Примеры: представители Тейхмюллера, извлечение корней.
Компактность кольца целых чисел.
Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций.
Существование и единственность продолжения нормы на алгебраическое замыкание; явный вид продолжения.
Целое замыкание кольца целых чисел в конечном расширении.
Индекс ветвления и степень поля вычетов конечного расширения. Многочлены Эйзенштейна и вполне разветвлённые расширения. Неразветвлённые расширения. Описание произвольного конечного расширения в терминах неразветвлённых и вполне разветвлённых.
Лемма Краснера.
Непрерывность корней многочленов как функций от коэффициентов (непрерывность алгебраических функций).
Построение полного алгебраически замкнутого расширения.
Степенные ряды и аналитические в шаре функции: бесконечная дифференцируемость и разложение в ряд Тейлора, теорема единственности, неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора, принцип максимума, теорема Лиувилля об ограниченной целой функции, алгебра аналитических функций как замыкание алгебры рациональных функций.
Логарифмическая и экспоненциальная функции. Теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейной рекуррентной последовательности.
Многоугольники Ньютона для многочленов; связь с корнями.
Многоугольники Ньютона для степенных рядов и нули аналитических функций. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Разложение целой функции в бесконечное произведение.
Интеграл Шнирельмана. Теорема о вычетах.