Вопросы по курсу "Алгебра, 1 семестр"Вопросы по курсу "Алгебра, 1 семестр" (вечернее отделение) 1. Системы линейных уравнений. Прямоугольные матрицы. Приведение матриц и систем линейных уравнений к ступенчатому виду. Метод Гаусса. 2. Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность). 3. Определитель квадратной матрицы, его основные свойства. 4. Определитель треугольной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей. 5. Определитель транспонированной матрицы. 6. Формула разложения определителя матрицы по строке (столбцу). 7. Лемма о «фальшивом» разложении определителя. Формулы Крамера для решения линейных систем уравнений с квадратной матрицей. 8. Операции над матрицами и их свойства. Связь элементарных преобразований матриц с умножением на элементарные матрицы. Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц. 9. Обратная матрица, ее явный вид (формула), способ выражения с помощью элементарных преобразований строк. 10. Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов). Ранг матрицы по строкам и по столбцам. 11. Теорема о ранге матрицы. 12. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема Кронекера—Капелли). Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. 13. Понятие кольца, поля. Поле комплексных чисел, геометрическое изображение, алгебраическая и тригонометрическая форма записи. 14. Формула Муавра, извлечение корней из комплексных чисел, корни из единицы. 15. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком. 16. Наибольший общий делитель двух многочленов, его линейное выражение через заданные многочлены, алгоритм Евклида. 17. Неприводимые многочлены. Существование и единственность разложения многочлена в произведение неприводимых многочленов. 18. Теорема Гаусса об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. 19. Неприводимые многочлены над полями действительных и комплексных чисел. 20. Корни многочлена. Понижение кратности неприводимого множителя (корня) при дифференцировании, "освобождение" от кратных корней. 21. Границы корней многочлена. Теорема Штурма о локализации действительных корней многочлена. 22. Кольцо многочленов от многих переменных. Симметрические многочлены, их выражение через элементарные симметрические многочлены, формулы Виета. 23. Результант двух многочленов. Определитель Вандермонда. Выражение результанта многочленов через их корни. 24. Дискриминант многочлена. Его выражение через результант многочлена и его производной. 25. Понятие группы, подгруппы, гомоморфизма групп. Ядро и образ гомоморфизма групп. Примеры. 26. Циклические группы и их подгруппы. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Порядок элемента группы. 27. Теорема Лагранжа о группах и ее следствия. ЛИТЕРАТУРА 1. Кострикин А.И., Введение в алгебру, М., Наука, 1977. 2. Кострикин А.И., Введение в алгебру, М., Физико-математическая литература, ч. 1, 2000. 3. Винберг Э.Б., Курс алгебры, М., Факториал Пресс, 2001. 4. Курош А.Г., Курс высшей алгебры, М., Наука, 1971 5. Сборник задач по алгебре (под ред. Кострикина A.И.), М., Физико-математическая литература, 2001. 2006/2007 учебный год Лектор - В. Т. Марков